4 replies to this topic

[lanh24042002]

cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}}$

[githenhi512]

cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}}$

 

     Ta có định lí hàm Cos trong tam giác: $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc.CosA}$

Xét tứ giác ABCD có $\widehat{BAC}=30^{\circ}; \widehat{CAD}=60^{\circ}; AB=a; AC=b, AD=c$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} BC=\sqrt{a^2+b^2-2ab.Cos30^{\circ}} & & \\ CD=\sqrt{b^2+c^2-2bc.Cos60^{\circ}}& & \\ BD=\sqrt{a^2+c^2} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} BC=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab} & & \\ CD=\sqrt{b^2+c^2-bc} & & \\ BD=\sqrt{a^2+c^2} & & \end{matrix}\right.$

Mà $BC+CD\geq BD$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}}$( đpcm)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow$ C nằm giữa B và D

Attached Images

• 

Edited by githenhi512, 16-04-2017 - 21:47.

[tuaneee111]

\[VT = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a - b} \right)}^2} + \frac{1}{4}{a^2}}  + \sqrt {{{\left( {b - \frac{c}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}{c^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a - \frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}c} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \]

[lanh24042002]

bạn trình bày rõ hơn đc ko, cái bước $\geq$ mk ko hiểu

 

\[VT = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a - b} \right)}^2} + \frac{1}{4}{a^2}}  + \sqrt {{{\left( {b - \frac{c}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}{c^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a - \frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}c} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \]

[TrBaoChis]

bạn trình bày rõ hơn đc ko, cái bước $\geq$ mk ko hiểu

bc do la` su dung BDT Mincopxki