CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\geq 2$ với a,b,c lớn hơn 0
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\geq 2$ với a,b,c lớn hơn 0
Bắt đầu bởi lanh24042002, 16-05-2017 - 08:03
bđt
#2
Đã gửi 17-05-2017 - 03:52
Cuongpa
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\geq 2$ với a,b,c lớn hơn 0
Đặt $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}$
Ta có:
$\sqrt{\frac{2c}{a+b}}=\frac{4c}{2\sqrt{2c(a+b)}}\geq \frac{4c}{a+b+2c}$
Do đó theo bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng phân thức (dạng $Engel$) thì:
$P\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b+2c}\geq \frac{(a+b+2c)^{2}}{2ab+2bc+2ca+2c^2}$
Từ đó để chứng minh $P\geq 2$ ta chỉ cần chứng minh:
$(a+b+2c)^2\geq 4\sum ab +4c^2\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b\\ a+b=2c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c$
- HoangKhanh2002, datthyqt, lanh24042002 và 1 người khác yêu thích
Success doesn't come to you. You come to it.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
