Giả sử $ x_{1}, x_{2} $ là hai nghiệm của phương trình $ x^{2}-4x+1=0 $. Chứng minh rằng biểu thức $ x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n} $ có thể biểu diễn dưới tổng bình phương của ba số liên tiếp.
Chứng minh rằng biểu thức $ x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n} $
#1
Đã gửi 10-06-2017 - 14:47
#2
Đã gửi 14-06-2017 - 23:34
Giả sử $ x_{1}, x_{2} $ là hai nghiệm của phương trình $ x^{2}-4x+1=0 $. Chứng minh rằng biểu thức $ x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n} $ có thể biểu diễn dưới tổng bình phương của ba số liên tiếp.
Giả sử $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$. Theo định lý Talet ta có $x_1+x_2=4,x_1x_2=1$
Đặt $U_n=\frac{1}{\sqrt{3}}[x_{1}^n-x_{2}^n]$.
Ta sẽ chứng minh $U_n$ là số nguyên với mọi $n\geq 1$.
Thật vậy ta thấy $U_{n+1}-4U_n+U_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}[x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}-(x_1+x_2)(x_{1}^{n}-x_{2}^{n})+x_{1}^{n-1}-x_{2}^{n-1}]=0$
( Do $x_1+x_2=4,x_1x_2=1$ )
$\Rightarrow U_{n+1}=4U_n-U_{n-1}$
$U_1=2,U_2=8$ là số nguyên suy ra $U_3$ là số nguyên,suy ra $U_4$ là số nguyên,,..suy ra $U_n$ là số nguyên,
Vậy $U_n$ là số nguyên với mọi $n\geq 1$.
$U_n^2= \frac{1}{3}(x_1^{2n}+x_2^{2n}-2x_1^{n}x_2^{n})= \frac{1}{3}(x_1^{2n}+x_2^{2n}-2)$
$\Rightarrow x_1^{2n}+x_2^{2n}= 3U_n^2+2=(U_n-1)^2+U_n^2+(U_n+1)^2$
Ta có đpcm.
- supernatural1, Kagome và Tea Coffee thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 9
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 thành phố Đà Nẵng năm học 2022 - 2023Bắt đầu bởi vancongnam, 10-02-2023 học sinh giỏi, đà nẵng và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 Thành phố Đà Nẵng 2021-2022Bắt đầu bởi narutosasukevjppro, 24-02-2022 đề thi, lớp 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $Bắt đầu bởi supernatural1, 22-07-2019 lớp 9, thi vào chuyên và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Giải phương trình $x\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{x-1}=x+1$Bắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 20-04-2019 giải phương trình, lớp 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 18-11-2018 phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh