Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Giả sử $ x_{1}, x_{2} $ là hai nghiệm của phương trình $ x^{2}-4x+1=0 $. Chứng minh rằng biểu thức $ x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n} $ có thể biểu diễn dưới tổng bình phương của ba số liên tiếp.

[1ChampRivenn]

Giả sử $ x_{1}, x_{2} $ là hai nghiệm của phương trình $ x^{2}-4x+1=0 $. Chứng minh rằng biểu thức $ x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n} $ có thể biểu diễn dưới tổng bình phương của ba số liên tiếp.

Giả sử $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$. Theo định lý Talet ta có $x_1+x_2=4,x_1x_2=1$

Đặt $U_n=\frac{1}{\sqrt{3}}[x_{1}^n-x_{2}^n]$.

Ta sẽ chứng minh $U_n$ là số nguyên với mọi $n\geq 1$.

Thật vậy ta thấy $U_{n+1}-4U_n+U_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}[x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}-(x_1+x_2)(x_{1}^{n}-x_{2}^{n})+x_{1}^{n-1}-x_{2}^{n-1}]=0$

( Do $x_1+x_2=4,x_1x_2=1$ )

$\Rightarrow U_{n+1}=4U_n-U_{n-1}$

$U_1=2,U_2=8$ là số nguyên suy ra $U_3$ là số nguyên,suy ra $U_4$ là số nguyên,,..suy ra $U_n$ là số nguyên,

Vậy $U_n$ là số nguyên với mọi $n\geq 1$.

$U_n^2= \frac{1}{3}(x_1^{2n}+x_2^{2n}-2x_1^{n}x_2^{n})= \frac{1}{3}(x_1^{2n}+x_2^{2n}-2)$

$\Rightarrow x_1^{2n}+x_2^{2n}= 3U_n^2+2=(U_n-1)^2+U_n^2+(U_n+1)^2$

Ta có đpcm.