Cho dãy số $ (U_{n}) $ xác định bởi: $ U_{1}=a (a \geq 2); 2U_{n+1}=\sqrt{3U_{n}^{2}+1+\frac{3}{n}} $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 19-06-2017 - 20:44
Cho dãy số $ (U_{n}) $ xác định bởi: $ U_{1}=a; 2U_{n+1}=\sqrt{3U_{n}^{2}+1+\frac{3}{n}} $
Bắt đầu bởi supernatural1, 15-06-2017 - 19:46
lớp 11
#2
Đã gửi 15-06-2017 - 20:47
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
Cho dãy số $ (U_{n}) $ xác định bởi: $ U_{1}=a; 2U_{n+1}=\sqrt{3U_{n}^{2}+1+\frac{3}{n}} $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}$.
Từ dãy truy hồi, ta có
\[u_{n+1}^2-1=\frac{3}{4} (u_n^2-1)+\frac{3}{4n}.\]
Xét hai dãy không âm $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, với $a_n= |u_n^2-1|$ và $b_n=\frac{3}{4n} \, \forall n\in \mathbb{N}$, ta thu được
\[0\le a_{n+1}\le \frac{3}{4} a_n+b_n,\]
trong đó $\lim b_n=0.$ Do đó, theo bổ đề dẫn bên dưới, ta thu được $\lim a_n=0$. Do đó, $\lim u_n=1.$
Bổ đề
https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/
- supernatural1 yêu thích
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 17-06-2017 - 19:48
supernatural1
-
- Thành viên
-
- 338 Bài viết
Sĩ quan
Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}$.
Từ dãy truy hồi, ta có
\[u_{n+1}^2-1=\frac{3}{4} (u_n^2-1)+\frac{3}{4n}.\]
Xét hai dãy không âm $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, với $a_n= |u_n^2-1|$ và $b_n=\frac{3}{4n} \, \forall n\in \mathbb{N}$, ta thu được
\[0\le a_{n+1}\le \frac{3}{4} a_n+b_n,\]
trong đó $\lim b_n=0.$ Do đó, theo bổ đề dẫn bên dưới, ta thu được $\lim a_n=0$. Do đó, $\lim u_n=1.$
Bổ đề
https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/
bạn ơi mình đánh thiếu đề, điều kiện của a là $ a\geq 2 $ cơ
#4
Đã gửi 17-06-2017 - 21:44
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
bạn ơi mình đánh thiếu đề, điều kiện của a là $ a\geq 2 $ cơ
Mình chưa thấy dùng thông tin $a\ge 2$ ở đâu cả.
Đời người là một hành trình...
#5
Đã gửi 19-06-2017 - 20:50
supernatural1
-
- Thành viên
-
- 338 Bài viết
Sĩ quan
Mình chưa thấy dùng thông tin $a\ge 2$ ở đâu cả.
được rồi đó bạn
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 11
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
