4 replies to this topic

[supernatural1]

Cho dãy số $ (U_{n}) $ xác định bởi: $ U_{1}=a (a \geq 2); 2U_{n+1}=\sqrt{3U_{n}^{2}+1+\frac{3}{n}} $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Edited by supernatural1, 19-06-2017 - 20:44.

[An Infinitesimal]

Cho dãy số $ (U_{n}) $ xác định bởi: $ U_{1}=a; 2U_{n+1}=\sqrt{3U_{n}^{2}+1+\frac{3}{n}} $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

 

Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}$. 

 

Từ dãy truy hồi, ta có

\[u_{n+1}^2-1=\frac{3}{4} (u_n^2-1)+\frac{3}{4n}.\]

Xét hai dãy không âm $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, với $a_n= |u_n^2-1|$ và $b_n=\frac{3}{4n} \, \forall n\in \mathbb{N}$, ta thu được

\[0\le a_{n+1}\le \frac{3}{4} a_n+b_n,\]

trong đó $\lim b_n=0.$ Do đó, theo bổ đề dẫn bên dưới, ta thu được $\lim a_n=0$. Do đó, $\lim u_n=1.$

 

Bổ đề

https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

 

 

Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}.$ Suy ra $2u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+1+\frac{3}{n}}\le \sqrt{3}{u_n}+\frac{1}{2} \forall n\ge 2.$

 

Do đó $\{u_n\}$ hội tụ về 0 theo bổ đề dẫn bên dưới.

(Không thành công vì không khớp với phát biểu? Liệu có đánh giá để áp dụng Bổ đề này? Quá trình trả lời câu hỏi đã dẫn đến lời giải trên.

 

https://diendantoanhoc.net/topic/169609-b%E1%BB%95-%C4%91%E1%BB%81-gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n/

[supernatural1]

Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}$. 

 

Từ dãy truy hồi, ta có

\[u_{n+1}^2-1=\frac{3}{4} (u_n^2-1)+\frac{3}{4n}.\]

Xét hai dãy không âm $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, với $a_n= |u_n^2-1|$ và $b_n=\frac{3}{4n} \, \forall n\in \mathbb{N}$, ta thu được

\[0\le a_{n+1}\le \frac{3}{4} a_n+b_n,\]

trong đó $\lim b_n=0.$ Do đó, theo bổ đề dẫn bên dưới, ta thu được $\lim a_n=0$. Do đó, $\lim u_n=1.$

 

Bổ đề

https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

 

 

Với $n\ge 2, u_n \ge \frac{1}{2}.$ Suy ra $2u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+1+\frac{3}{n}}\le \sqrt{3}{u_n}+\frac{1}{2} \forall n\ge 2.$

 

Do đó $\{u_n\}$ hội tụ về 0 theo bổ đề dẫn bên dưới.

(Không thành công vì không khớp với phát biểu? Liệu có đánh giá để áp dụng Bổ đề này? Quá trình trả lời câu hỏi đã dẫn đến lời giải trên.

 

https://diendantoanhoc.net/topic/169609-b%E1%BB%95-%C4%91%E1%BB%81-gi%E1%BB%9Bi-h%E1%BA%A1n/

bạn ơi mình đánh thiếu đề, điều kiện của a là $ a\geq 2 $ cơ

[An Infinitesimal]

bạn ơi mình đánh thiếu đề, điều kiện của a là $ a\geq 2 $ cơ

 

Mình chưa thấy dùng thông tin $a\ge 2$ ở đâu cả.

[supernatural1]

Mình chưa thấy dùng thông tin $a\ge 2$ ở đâu cả.

được rồi đó bạn