Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$, ... CMR giữa hai số $S_{n} $ và $S_{n+1}$ luôn có một số chính phương
Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$,
#1
Đã gửi 11-08-2017 - 11:27
#2
Đã gửi 12-08-2017 - 09:55
với $n\leq 3$ bài toán đúng
xét $n\geq 4$
giả sử k tồn tại số tự nhiên a để $S_n\leq a^2$ và $S_{n+1}\geq a^2$
=> tồn tại số tự nhiên k thỏa mãn $k^2 < S_n < S_{n+1} < (k+1)^2$
=>$ S_{n+1}-S_n<2k+1 => p_{n+1} < 2k+1$ với $p_{n+1}$ là số nguyên tố thứ n+1
xét bài toán phụ với i>4 thì $S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$
với i=5, $S_i=2+3+5+7+11<(\frac{11+1}{2})^2$
với i>5: $S_i=S_{i-1}+p_i< (\frac{p_{i-1}+1}{2})^2+p_i$ mà $p_i\leq p_i-2$
=> $S_i< (\frac{p_i-1}{2})^2+p_i=(\frac{p_i+1}{2})^2$
vậy$ S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$ với mọi i >4
=>$ k^2< S_{n+1} < (\frac{p_{n+1}+1}{2})^2 => p_{n+1}>2k-1$
mà $p_{n+1} < 2k+1 => p_{n+1}=2k$ (vô lý )
vậy điều giả sử ban đầu là sai => dpcm
- NHoang1608 yêu thích
$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, toán rời rạc
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Bắt đầu bởi Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu cách viết số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương?Bắt đầu bởi Explorer, 24-04-2024 tổ hợp, đếm, nguyên dương và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu hoán vị của tập {1, 2, 3, …, 9, 10} sao cho i luôn đứng trước i+5 với i chạy từ 1 đến 5Bắt đầu bởi Explorer, 19-04-2024 tổ hợp, toán rời rạc, hoán vị và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh