Tìm x,y thỏa $x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$ . e k nhớ rõ là có đk x,y thuộc N hay là thuộc Z, mong mọi người giúp đỡ với ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-05-2024 - 23:30
Tiêu đề & Bài viết
Tìm x,y thỏa $x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$ . e k nhớ rõ là có đk x,y thuộc N hay là thuộc Z, mong mọi người giúp đỡ với ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-05-2024 - 23:30
Tiêu đề & Bài viết
Tìm x,y thỏa $x^2+y^2+1$$\vdots$$2xy+1$ . e k nhớ rõ là có đk x,y thuộc N hay là thuộc Z, mong mọi người giúp đỡ với ạ
Có lẽ thuộc N ạ
Cố định $k = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2xy + 1} \in \mathbb{N^*}$ và xét tập $S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | k = \frac{x^2 + y^2 +1}{2xy + 1}$.
Vì $S$ là tập các cặp số tự nhiên nên tồn tại $(x_0,y_0) \in S$ sao cho $x_0 + y_0$ nhỏ nhất và $x_0 \ge y_0$.
Ta xét phương trình $\frac{x^2 + y_0^2 + 1}{2xy_0 + 1} = k \Leftrightarrow x^2 - 2ky_0x + y_0^2 - k + 1 = 0$.
Theo cách chọn $y_0$ thì phương trình trên có một nghiệm $x_0$ nên nó cũng có nghiệm $x_1$ và thỏa mãn $x_0 + x_1 = 2ky_0, x_0x_1 = y_0^2 - k + 1$.
Ta có $x_1 \in \mathbb{Z}$ và $x_1 \ge 0$, vì nếu không $x_1 < 0$ thì $x_1^2 - 2ky_0x_1 + y_0^2 - k + 1 \ge x_1^2 +2k + y_0^2 - k + 1 > 0$ (Mâu thuẫn).
Suy ra $(x_1,y_0) \in S$ và do đó $x_1 + y_0 \ge x_0 + y_0 \Rightarrow x_1 \ge x_0 \Rightarrow y_0^2 \ge y_0^2 - k + 1 = x_0x_1 \ge x_0^2 \Rightarrow y_0 \ge x_0$.
Mà theo cách chọn thì $x_0 \ge y_0$ nên dấu bằng ở các đánh giá trên xảy ra kéo theo $k = 1$. Do đó $x = y$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chuongn1312: 14-05-2024 - 20:53
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh