4 replies to this topic

[souhh]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.

CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.

Edited by souhh, 25-09-2017 - 21:29.

[Element hero Neos]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.

CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.

Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=11$ là số nguyên tố

[souhh]

Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=11$ là số nguyên tố

Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=16$ là hợp số mà bạn.

[Element hero Neos]

Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=16$ là hợp số mà bạn.

Lúc trước khi sửa đề thì $A=11$ còn khi bạn sửa xong thì thành $A=16$, có lẽ mạng chậm nên cập nhật câu trả lời hơi chậm :v

[duylax2412]

Nhận xét: Với $a,b,c,d \in Z^{+}$ mà $ab=cd$ thì $a+b+c+d$ là hợp số.

Chứng minh: Đặt $(a,c)=k \Rightarrow a=ka{'};c=kc{'}$ với $(a',c')=1$.Thay vào ta có $a'b=c'd \Rightarrow a'|c'd  \Rightarrow a'|d$ .Đặt $d=a'd'$ Thay vào tiếp ta có $b=c'd'$

Khi đó $a+b+c+d=ka'+c'd'+kc'+a'd'=(a'+c')(k+d')$ là hợp số.

Trở lại bài toán. Bỏ qua trường hợp $ab+c^2$ không chính phương ta đặt :$ab+c^2=m^2 \Rightarrow ab=(m-c)(m+c)$

Khi đó $\exists r,s \in Z^{+}$ sao ccho $m-c=r$;$m+c=s$ và $r.s=ab$ .Giải ra ta có $2m=r+s$

 Áp dụng nhận xét trên với $a,b,r,s$ nguyên dương thỏa $ab=rs$ thì  $A=a+b+2\sqrt{ab+c^2}=a+b+2m=a+b+r+s$ là hợp số.