Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c, d>0. 

 

CMR:

 

 

 

     $\frac{a}{b+2c+d}+\frac{b}{c+2d+a}+\frac{c}{d+2a+b}+\frac{d}{a+2b+c}\geq 1+\frac{(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}$

[nmtuan2001]

Cho a, b, c, d>0. 

 

CMR:

 

 

 

     $\frac{a}{b+2c+d}+\frac{b}{c+2d+a}+\frac{c}{d+2a+b}+\frac{d}{a+2b+c}\geq 1+\frac{(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$$\frac{a}{b+2c+d}+\frac{b}{c+2d+a}+\frac{c}{d+2a+b}+\frac{d}{a+2b+c}$$

$$=\frac{a^2}{ab+2ca+da}+\frac{b^2}{bc+2bd+ab}+\frac{c^2}{cd+2ca+bc}+\frac{d^2}{da+2bd+cd}$$

$$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+2ac+2bd)}$$

Mà $1+\frac{(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}=\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)}{(a+b+c+d)^2}$, nên cần chứng minh

$$(a+b+c+d)^4 \geq 4[ab+bc+cd+da+2ac+2bd][a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da]$$

Áp dụng AM-GM: $4[ab+bc+cd+da+2ac+2bd][a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da] \geq [(ab+bc+cd+da+2ac+2bd)+(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)]^2=(a+b+c+d)^4$.

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=c, b=d$.