Chủ đề này có 3 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c là các số dương sao cho $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh các BĐT sau:

1. $a+b+c\geq 3$ (Romania JBTST 2014)
2. $a+b+c\geq ab+bc+ca$ (VMO 1996)
3. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$
4. $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq 3$

[Tea Coffee]

Đặt $a=\frac{2x}{y+z},b=\frac{2y}{x+z},c=\frac{2z}{x+y}<=>\frac{4xy}{(x+z)(y+z)}+\frac{4yz}{(x+z)(x+y)}+\frac{4xz}{(x+y)(y+z)}+\frac{8xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}=4$ (đúng)

1) $a+b+c=\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}=\frac{2x^{2}}{xy+xz}+\frac{2y^{2}}{xy+yz}+\frac{2z^{2}}{xz+yz}\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}\geq 3$

2) $a+b+c\geq ab+bc+ac<=> \frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\geq \frac{4xy}{(x+z)(y+z)}+\frac{4yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{4xz}{(x+y)(y+z)}<=>x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$ (Schur)

3)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c<=>\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z} \geq \frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng phân thức $\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\leq \frac{x}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{y}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{z}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x} (VT)$

4) $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq 3<=> \sqrt{\frac{4xy}{(y+z)(x+z)}}+\sqrt{\frac{4yz}{(x+z)(x+y)}}+\sqrt{\frac{4xz}{(x+y)(y+z)}}\leq 3$

$2\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(x+z)}}+2\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}+2\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 06-03-2018 - 16:38

[Khoa Linh]

Tiếp nhé

Vẫn giả thiết như trên:

5, $\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}+\sqrt{z^2+8}\leq a+b+c+6$

6,$\sqrt{x(x+8)}+\sqrt{y(y+8)}+\sqrt{z(z+8)}\leq x+y+z+6$

[Unrruly Kid]

Tiếp nhé

Vẫn giả thiết như trên:

5, $\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}+\sqrt{z^2+8}\leq a+b+c+6$

6,$\sqrt{x(x+8)}+\sqrt{y(y+8)}+\sqrt{z(z+8)}\leq x+y+z+6$

Bài 5,6 khác gì nhau :3 mà ghi sai biến kìa