Chủ đề này có 1 trả lời

[doctor lee]

cho 3 số a,b,c ko âm tm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$

cmr $\frac{a^{2}}{a^{2}+bc+a+1}+\frac{b+c}{a+b+c+1}-\frac{1+bc}{9}\leqslant \frac{5}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-04-2021 - 17:52

[KietLW9]

Xét bất đẳng thức phụ: $\frac{a^2}{a^2+bc+a+1}\leqslant \frac{a}{a+b+c+1}(*)$ 

Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow a^3+a^2b+a^2c+a^2\leqslant a^3+abc+a^2+a\Leftrightarrow ab+ac\leqslant bc+1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ac\geqslant 0\Leftrightarrow (a-b-c)^2\geqslant 0$*đúng*

Như vậy ta có: $\frac{a^{2}}{a^{2}+bc+a+1}+\frac{b+c}{a+b+c+1}-\frac{1+bc}{9}\leqslant \frac{a+b+c}{a+b+c+1}-\frac{1+bc}{9}=1-(\frac{1}{a+b+c+1}+\frac{1+bc}{9})$

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a+b+c+1}+\frac{1+bc}{9}\geqslant \frac{4}{9}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a+b+c+1}+\frac{1+bc}{9}=\frac{1}{a.1+(b+c).1+1}+\frac{1+bc}{9}\geqslant \frac{1}{\sqrt{[a^2+(b+c)^2](1^2+1^2)}+1}+\frac{1+bc}{9}=\frac{1}{2\sqrt{1+bc}+1}+\frac{1+bc}{9}$

Đặt $\sqrt{1+bc}=t\geqslant 1$ thì $f(t)=\frac{1}{2t+1}+\frac{t^2}{9}$

Ta có: $f'(t)=\frac{2t}{9}-\frac{2}{(2t+1)^2}\geqslant \frac{2t}{9}-\frac{2}{9}=\frac{2(t-1)}{9}\geqslant0$ (Do $t\geqslant 1$ )

Dễ thấy f(t) là hàm đồng biến với mọi $t\geqslant 1$ nên $f(t)\geqslant f(1)=\frac{4}{9}$

Vậy vất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c) = (1,1,0) hoặc (a,b,c)=(1,0,1)