Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh
$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq \frac{7}{2}$
Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh
$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq \frac{7}{2}$
Không mất tính tổng quát, giả sử a=max{a,b,c}
Ta có: $\frac{1+a^2}{1+b^2}=\frac{(a^2+1)(b^2+1-b^2)}{b^2+1}=a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{b^2+1}\leq a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{2}$
Cmtt: $\frac{1+b^2}{1+c^2}\leq b^2+1-\frac{c^2(b^2+1)}{2};\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq c^2+1-\frac{a^2(c^2+1)}{2}$
Cộng vế theo vế ta được: $\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq 3+a^2+b^2+c^2-\frac{a^2(b^2+1)+b^2(c^2+1)+c^2(a^2+1)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}{2}+3\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}{2}+3=\frac{7}{2}$
Dấu ''='' xảy ra khi a=1; b=c=0
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh