Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$
- Sáng tác-
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 27-04-2018 - 20:36
Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$
- Sáng tác-
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 27-04-2018 - 20:36
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$
- Sáng tác-
Lần đầu mình gặp dạng này , cũng hay phết , không biết Khoa Linh còn bài nào khác tương tự không ??
Lời giải :
Giả sử c = max {a; b; c}
i. Nếu $c\leq \frac{1}{2} $ thì $VT\geq \frac{3}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$
ii. Nếu $c\geq \frac{1}{2}$ . Ta có một đánh giá sau :
$$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}\geq \frac{2}{(a+b)^2+2}$$
$$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2+2ab(a^2-ab+b^2)+2a^2+8ab+2b^2\geq 0$$
Điều này đúng vì a,b không âm .
Do đó kết hợp điều kiện a+b=1- c thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$$\frac{1}{c^2+2}+\frac{2}{(c-1)^2+2}\geq \frac{4}{3}$$
$$\Leftrightarrow (c-1)(2c-1)(2c^2-c+3)\leq 0$$
Điều này luôn đúng với điều kiện ta xét ở trên .
Vậy bài toán được chứng minh , dấu bằng xảy ra khi (a;b;c)=(0;0;1) và các hoán vị của nó .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 28-04-2018 - 14:36
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$
- Sáng tác-
Thú vị có thể làm trội lên nữa nhưng mình sẽ không nêu ra vì một vài lý do
Thú vị có thể làm trội lên nữa nhưng mình sẽ không nêu ra vì một vài lý do
$$ \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{c^2+2} \ge \frac{1}{(a+c)^2+2} +1/2 $$$$ \Leftrightarrow ac(8-4ac-2a^2c^2-a^3c-ac^3) \ge 0 \text{ (Luôn đúng)} $$@viet9a14124869: dồn về thế này đơn giản hơn chứ chia trường hợp kia có vẻ hơi "cực khổ"
Tui có nghĩ đến bổ đề này trước khi nghĩ đến bổ đề trên kia rồi , cơ mà quên mất $a+c\leq 1$ =)) .....
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm
Lời giải:
Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)
Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max(a,b,c)$
Khi đó $1=a+b+c \leq 3c \Rightarrow c \geq \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{1}{3} \leq c \leq 1$
Ta có $\frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{a^2+b^2+4} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{(a+b)^2+4} + \frac{1}{c^2+2} = \frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4}$
Ta sẽ CM $\frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4} \geq \frac{4}{3}$ (1)
Thật vậy: (1) $\Leftrightarrow 3(4(c^2+2)+c^2-2c+5) \geq 4(c^2+2)(c^2-2c+5) \Leftrightarrow 4c^4-8c^3+13c^2-10c+1 \leq 0 \Leftrightarrow (c-1)(4c^3-4c^2+9c-1) \leq 0$ (*)
Mà $4c^3-4c^2+9c-1=c(2c-1)^2+8c-1 \geq 8c-1 >0$ (Vì $c \leq \frac{1}{3}$) và $c \leq 1$
Nên (*) đúng. Ta có ĐPCM
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 27-04-2018 - 23:48
Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm
Lời giải:
Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)
Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$
Best =3 ... Mình chỉ có chút kiến thức về UCT thoii, nhưng làm sao tìm được hệ số như này ??
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm
Lời giải:
Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)
Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$
Thực ra lúc đầu định làm như vầy, nhưng thấy bài của Việt tưởng chặt quá nên đổi qua dồn biến
@Việt: về cách chọn hệ số, mình thường làm như sau, không biết tác giả làm kiểu gì:
Xây dựng 2 bđt cơ sở:
$\frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge m\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{3}\\ \frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge na + \frac{1}{2}$
Từ đây ta thu được $m=\frac{-1}{6}$
P/s: tất nhiên nó chỉ work với mấy bài yếu, chặt hơn thì mệt lắm
Không biết tác giả tìm ra kiểu gì
Thực ra lúc đầu định làm như vầy, nhưng thấy bài của Việt tưởng chặt quá nên đổi qua dồn biến
@Việt: về cách chọn hệ số, mình thường làm như sau, không biết tác giả làm kiểu gì:
Xây dựng 2 bđt cơ sở:
$\frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge m\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{3}\\ \frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge na + \frac{1}{2}$
Từ đây ta thu được $m=\frac{-1}{6}$
P/s: tất nhiên nó chỉ work với mấy bài yếu, chặt hơn thì mệt lắm
Không biết tác giả tìm ra kiểu gì
Chắc là đoán dấu bằng (0;0;1) nên tác giả muốn làm xuất hiện đại lượng chứa tích a(a-1) ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 28-04-2018 - 10:56
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh