Cho $x, y, z > 0$ và $x+y+z= 1$ . Chứng minh
$xy+ yz+ xz - xyz\leq \frac{8}{27}$
Cho $x, y, z > 0$ và $x+y+z= 1$ . Chứng minh
$xy+ yz+ xz - xyz\leq \frac{8}{27}$
Cuộc đời lắm chông gai thử thách. Chỉ khi ta cố gắng vượt qua, ta mới biết chân quý những thứ mình có được.
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$
$\Leftrightarrow 5xyz+1\geq 4(xy+yz+zx-xyz)$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}= \frac{1}{27}$
$\Rightarrow xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
cách khác :
giả sử x,y,z là 3 cạnh tam giác => ta có BĐT phụ $xyz\geqslant(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
=>$9xyz\geqslant1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)=-1+4(xy+yz+xz)=>xy+yz+xz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}$
từ đó => $xy+yz+xz-xyz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}-xyz=\frac{5}{4}xyz+\frac{1}{4}\leqslant \frac{5}{4}.\frac{(x+y+z)^3}{27}+\frac{1}{4}=\frac{8}{27}$
Trương Văn Hào ☺☺ 超クール
Kawaiiii ☺
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh