Cho ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn $a$ là ước của $b+c+bc$, $b$ là ước của $c+a+ca$ và $c$ là ước của $a+b+ab$. Chứng minh $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số nguyên tố.
Mong mọi người giúp đỡ!
Cho ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn $a$ là ước của $b+c+bc$, $b$ là ước của $c+a+ca$ và $c$ là ước của $a+b+ab$. Chứng minh $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số nguyên tố.
Mong mọi người giúp đỡ!
Hiện tại mình có một cách nhưng hơi dài.
Giả sử $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố.
Ta có:$\left\{\begin{matrix}b+c+bc\vdots a \\ a+b+ab\vdots c \\ c+a+ac\vdots b \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}b+c+bc+a(b+c+1)\vdots a \\ a+b+ab+c(a+b+1)\vdots c \\ c+a+ac+b(a+c+1)\vdots b \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}a+b+c+ab+bc+ac\vdots a \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots c \end{matrix}\right.$
Do $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố
$=>a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc$
Nhận thấy $a,b,c\epsilon \mathbb{P}=>a,b,c> 1=>a,b,c,ab,bc,ac< abc=>a+b+c+ab+bc+ac< 6abc$
$=>a+b+c+ab+bc+ac=abc,2abc,3abc,4abc,5abc$
Giải từng trường hợp tính ra $a,b,c$ nhưng thấy vô lý vì chúng đồng thời nguyên tố.
Để ý vai trò bình đẳng của $a,b,c$ để sắp xếp thứ tự.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 22-06-2018 - 15:47
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
Hiện tại mình có một cách nhưng hơi dài.
Giả sử $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố.
Ta có:$\left\{\begin{matrix}b+c+bc\vdots a \\ a+b+ab\vdots c \\ c+a+ac\vdots b \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}b+c+bc+a(b+c+1)\vdots a \\ a+b+ab+c(a+b+1)\vdots c \\ c+a+ac+b(a+c+1)\vdots b \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}a+b+c+ab+bc+ac\vdots a \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots c \end{matrix}\right.$
Do $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố
$=>a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc$
Nhận thấy $a,b,c\epsilon \mathbb{P}=>a,b,c> 1=>a,b,c,ab,bc,ac< abc=>a+b+c+ab+bc+ac< 6abc$
$=>a+b+c+ab+bc+ac=abc,2abc,3abc,4abc,5abc$
Giải từng trường hợp tính ra $a,b,c$ nhưng thấy vô lý vì chúng đồng thời nguyên tố.
Để ý vai trò bình đẳng của $a,b,c$ để sắp xếp thứ tự.
Mình xin đề xuất một cách làm khác: Giả sử a,b,c đồng thời nguyên tố, biến đổi như bạn Tea Coffee ta đưa về được $a+b+c+ab+bc+ca \vdots abc$
Ta cm bằng quy nạp rằng với$a,b,c \geq 4 $ thì a+b+c+bc+ca+ab< abc. Khi a=b=c=4 thì VT=60<64=VP.
Giả sử rằng giả thiết a+b+c+ab+bc+ca <abc đúng. Khi ta cộng 1 vào 1 trong 3 số a,b,c ( giả sử là a ) thì VT tăng thêm b+c+1 và VP tăng thêm bc. Do $b,c \geq 4$ nên b+c+1<bc tức (a+1)+b+c+(a+1)b+(a+1)c+bc < (a+1)bc. Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học mệnh đề đúng với mọi $a,b,c \geq 4$
Xét các TH $a,b,c \leq 4$ (lưu ý là 3 số không đồng thời bằng 4). Vì a,b,c đồng thời nguyên tố nên ta xét lần lượt các TH (2,2,2);(2,2,3);(2,3,3);(3,3,3); thấy không thỏa nên ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 22-06-2018 - 20:37
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Thử đưa về bài toán quen thuộc xem có được không
Giả sử tồn tại $a,b,c$ là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài
Theo Tea , ta lí luận được $a+b+c+ab+bc+ca \vdots abc$
Đặt $A.abc=a+b+c+ab+bc+ca$
Thì $(A+1).abc=(a+1)(b+1)(c+1)-1$
Đến đây lí luận được $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b \leq c$
Với $a $ lẻ thì $a\geq 3 ,\,\, b \geq 5\,\,\,\, c\geq 7$
Và $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} <1$
Cái này không được
Vậy nên $a=b=c=2$ (Càng không được )
Cho nên không tồn tại $a.b.c$ thỏa mãn đề bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 05-07-2018 - 17:07
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$5p-1$ và $2p-1$ đều là số chính phương […]Bắt đầu bởi tomeps, 03-05-2024 số nguyên tố |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Viết các số tự nhiên liên tiếp:1, 2, 3,...,1999 theo thứ tự tùy ý thành một dãy số dài. Hỏi số đó chia hết cho 2005 không?Bắt đầu bởi David Ting, 29-12-2023 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b,c nguyên dương TM: a+10b, b+10c, c+10a hoặc là lũy thừa của 2 hoặc là lũy thừa của 5.CMR abc chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 100Bắt đầu bởi Explorer, 18-09-2023 số học, nguyên dương, lũy thừa và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh