Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$
Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$
Giả sử $ x ,y ,z $ là bộ nghiệm thỏa $ x + y + z $ nhỏ nhất.
Xét TH có 2 số lẻ và 1 số chẵn.
VT $ \equiv 1 + 1 + 0 \equiv 2 $ (mod 4).
VP $\equiv 0 $ (mod 4) .Vô lí !
Vậy cả 2 số đều cùng chẵn. Đặt $ x =2x_{1}, y=2y_{1}, z = 2z_{1} $ phương trình tương đương:
$ x_{1}^2 + y_{1}^2 + z_{1} ^2 = 4x_{1}y_{1}z_{1} $ Tiếp tục lập luận như trên ta suy ra tồn tại $ x_{n} , y_{n}, z_{n} $ chẵn với $ n > 2 $. Quá trình này sẽ lặp lại vô số lần nên luôn có nghiệm $ x_{n} < x , y_{n} < y, z_{n} < z $ ( trái với giả thiết ).
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên dương.
$ x_{1}^2 + y_{1}^2 + z_{1} ^2 = 4x_{1}y_{1}z_{1} $ Tiếp tục lập luận như trên ta suy ra tồn tại $ x_{n} , y_{n}, z_{n} $ chẵn với $ n > 2 $. Quá trình này sẽ lặp lại vô số lần nên luôn có nghiệm $ x_{n} < x , y_{n} < y, z_{n} < z $ ( trái với giả thiết ).
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên dương.
Chỗ này làm sao nói $ x_{n} < x , y_{n} < y, z_{n} < z $ cũng là nghiệm vậy bạn? Tại vì nếu làm lặp lại tương tự như trên thì $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2^{n+1}x_{n}y_{n}z_{n}$ chứ đâu có phải là $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2x_{n}y_{n}z_{n}$ đâu nhì?
Chỗ này làm sao nói $ x_{n} < x , y_{n} < y, z_{n} < z $ cũng là nghiệm vậy bạn? Tại vì nếu làm lặp lại tương tự như trên thì $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2^{n+1}x_{n}y_{n}z_{n}$ chứ đâu có phải là $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2x_{n}y_{n}z_{n}$ đâu nhì?
Em có 1 chút nhầm lẫn đoạn này như chị nói . Quá trình đó lặp lại nên ta có $ x \vdots 2^n $ và $ n \in Z $, n tiến đến vô cực , suy ra $ x = 0 $ . Tương tự với $ y =z = 0 $.
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Các bài tổ hợp của thầy Nguyễn Tất ThuBắt đầu bởi Linh Moi, 23-09-2021 tổ hợp và rời rạc |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Nguyên lí cực hạnBắt đầu bởi Ducle, 26-03-2019 nguyên lí cực hạn |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Từ các chữ số 0,1,2,3,4Bắt đầu bởi nguyen kd, 01-09-2017 tổ hợp và rời rạc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Tổ hợpBắt đầu bởi Sketchpad3356, 21-08-2017 tổ hợp và rời rạc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Toán trò chơiBắt đầu bởi TheNewDay, 19-07-2015 tổ hợp và rời rạc |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh