Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa $ abc = 1$. CMR:
$ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $
Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa $ abc = 1$. CMR:
$ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $
Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ với $x,y,z$ dương.
Khi đó ta có:
$VT=3\sum \frac{y^2}{xz+y^2+yz} \geq 3\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=3$
Lại có:$6-VP=3\sum \frac{a}{a+2}=3\sum\frac{x}{x+2y}=3\sum\frac{x^2}{x^2+xy} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=3$
Do đó $VP\leq 3$
Từ đó suy ra $VT \geq 3 \geq VP$ (Q.E.D)
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR \sum ab \leq 27Bắt đầu bởi Sin99, 20-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh