2 replies to this topic

[nguyentrongvanviet]

1. Cho BC là một dây cung khác đường kính của đường tròn . Điểm A thay đổi trên cung lớn . Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác  tiếp xúc với cạnhAB,BC,AC   lần lượt tại  P,M,N .

1. Tìm vị trí của A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn nhất.
2. Chứng minh rằng đường thẳng Ơ-le của tam giác MNP  luôn đi qua một điểm cố định.

Edited by nguyentrongvanviet, 21-04-2021 - 08:35.

[Hoang72]

a) Ta biết rằng tam giác ABC có góc A không đổi, B, C cố định thì $P_{ABC}$ đạt Max khi và chỉ khi AB = AC.

Tam giác ANP cân tại A có AP = AN không đổi nên NP lớn nhất khi và chỉ khi AP lớn nhất, tức AP + AN lớn nhất hay AB + AC + BC lớn nhất. Khi đó A là điểm chính giữa của cung BC.

Gọi M' là điểm chính giữa cung PN chứa M của đường tròn (MNP).

Ta có $P_{MNP}\leq P_{M'NP}$.

Mặt khác $P_{M'NP}$ đạt Max khi và chỉ khi PN đạt Max (Do góc NM'P không đổi), tức A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

Vậy....

Edited by Hoang72, 21-04-2021 - 09:37.

[Hoang72]

b) Gọii (O) là đường tròn (ABC).

Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.

O' là tâm Euler của tam giác MNP.

(A'B'C') cắt IA, IB, IC lần thứ hai ở D, E, F.

Ta có IA . IA' = IB . IB' = IC . IC' =$R_a^2$ với $R_a$ là bán kính đường tròn bàng tiếp.

Ta cũng có IA' . ID = IB' . IE = IC' . IF.

Từ đó $\frac{IA}{ID}=\frac{IB}{IE}=\frac{IC}{IF}$ nên AB // DE, BC // EF, CA // FD.

Do đó $\Delta DEF\sim\Delta ABC$.

Suy ra $\frac{O'F}{OC}=\frac{DF}{AC}=\frac{IF}{IC}\Rightarrow \overline{I,O',O}$.

Vậy đường thẳng Euler của tam giác MNP là IO' đi qua điểm O cố định.

Edited by Hoang72, 21-04-2021 - 09:49.