Cmr V a,b,c > 0 , ta có BĐT :
$\frac{a^{2}(a-b)}{a+b}+\frac{b^{2}(b-c)}{b+c}+\frac{c^{2}(c-a)}{c+a}\geqslant 0$
dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c$
Cmr V a,b,c > 0 , ta có BĐT :
$\frac{a^{2}(a-b)}{a+b}+\frac{b^{2}(b-c)}{b+c}+\frac{c^{2}(c-a)}{c+a}\geqslant 0$
dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c$
Ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}\geqslant \frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}$
Dễ thấy:
+) $\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}=\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ca}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
+) $\frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}\leqslant \frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{b^2c}{2\sqrt{bc}}+\frac{c^2a}{2\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\leqslant \frac{\sqrt{3(a^3b+b^3c+c^3a)}}{2}\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
bạn KietLW9 giải đúng rồi ,mình xin nêu thêm môt cách khac chứng minh ý +) thứ hai trong bài của bạn KietLW9:
Áp dụng BDT Cô-si ta có:
$\sum \frac{a^{2}b}{a+b}\leqslant \sum \frac{a(a+b)^{2}}{4(a+b)}=\sum \frac{a(a+b)}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{4}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{3}{8}$Bắt đầu bởi Nguyen Huyen Dieu, 02-09-2021 bât đẳng thưc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a^{2}-bc}{b+c}+\frac{b^{2}-ca}{c+a}+\frac{c^{2}-ab}{a+b}\geqslant 0$Bắt đầu bởi Ho Thi Thanh Truc, 16-08-2021 bât đẳng thưc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$a^{6}+b^{6}+c^{6}+abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geqslant 0$Bắt đầu bởi Ho Thi Thanh Truc, 14-08-2021 bât đẳng thưc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}\geqslant ...$Bắt đầu bởi Nguyen Huyen Dieu, 06-08-2021 bât đẳng thưc |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh