Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.
Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.
#1
Posted 26-09-2022 - 19:30
- thanhng2k7 and ThienDuc1101 like this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#2
Posted 26-09-2022 - 19:50
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài
Edited by thanhng2k7, 26-09-2022 - 20:47.
- ThienDuc1101 and Matthew James like this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#3
Posted 26-09-2022 - 20:28
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ thay vào đề bài thấy hoặc $q=0$ hoặc $q=1$ (ktm)
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy k có giá trị p,q,x thỏa mãn
(P/s: Không biết có đúng không nữa =))) )
thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))
- thanhng2k7 likes this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#4
Posted 26-09-2022 - 20:30
thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))
Chắc là đúng thôi =)))
- Le Tuan Canhh and Matthew James like this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#5
Posted 26-09-2022 - 20:39
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
- thanhng2k7 and Matthew James like this
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Posted 26-09-2022 - 20:43
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
vậy có nghĩa là bài này thỏa mãn mọi giá trị p=q nguyên tố đúng không ạ ?
- thanhng2k7 likes this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#7
Posted 26-09-2022 - 20:46
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
Để em sửa =))
- Matthew James likes this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#8
Posted 26-09-2022 - 20:51
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài
Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))
- thanhng2k7 likes this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#9
Posted 26-09-2022 - 20:59
Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))
$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))
- Matthew James likes this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#10
Posted 26-09-2022 - 21:01
$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))
À nhầm nãy em biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))
Edited by Matthew James, 26-09-2022 - 21:03.
- thanhng2k7 likes this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#11
Posted 26-09-2022 - 21:02
À nhầm nãy tôi biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))
=))))) cung ghe
- Matthew James likes this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#12
Posted 26-09-2022 - 21:15
=))))) cung ghe
Ghê gì nhầm dấu =)))
- thanhng2k7 likes this
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#13
Posted 26-09-2022 - 21:26
Ghê gì nhầm dấu =)))
=)))))
- Matthew James likes this
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Also tagged with one or more of these keywords: số học, số nguyên tố
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng tồn tại $p$ số nguyên dương không vượt quá $2p^2$ sao cho tổng các cặp số trong $p$ số đó phân biệt.Started by mydreamisyou, Yesterday, 03:29 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Started by Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Started by Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$5p-1$ và $2p-1$ đều là số chính phương […]Started by tomeps, 03-05-2024 số nguyên tố |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users