Chủ đề này có 25 trả lời

[PSW]

Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực Đại số của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 11/02/2024 (Mùng 2 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)

Sau khi trọng tài hxthanh post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.



Thí sinh cần nhấn “xem trước” bài viết của mình cẩn thận trước khi post bài nhằm tránh sai sót (lỗi Latex, v.v…) vì sau khi gửi bài sẽ không xem lại và không sửa được nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 12-02-2024 - 10:06

[hxthanh]

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

[HG0711]

[HG0711]

[habcy12345]

Ta chứng minh bổ đề: $S(2^n)=\frac{4^n+2}{3}, n\in\mathbb{N^*}$, $S(2^n)$ là tổng các ước lẻ lớn nhất của các số từ $1$ đến $2^n(1)$
Thật vậy: Ta thấy rằng $\{1,2,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2,4,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2.1,2.2,...,2.2^{n-1}\}$
Nên $S(2^n)=1+3+...+2^n+S(2^{n-1})=4^{n-1}+S(2^{n-1})$
Với $n=1$ thì $S(2^1)=2$ tức $(1)$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in\mathbb{N^*})$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$. Thật vậy, $S(2^{k+1})=4^k+S(2^k)=4^k+\frac{4^k+2}{3}=\frac{4^{k+1}+2}{3}$, tức $(1)$ đúng với $n=k+1$
Vậy bổ đề được cm.
Trờ lại bài, từ bổ đề dễ dàng suy ra $\sum_{n=1}^{2048} a(n)=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102, \sum_{n=1}^{4096} a(n)=\frac{4^{12}+2}{3}=5592406$
Xét $\sum_{n=2025}^{2048} a(n)$:
$a(2026)=1013\Rightarrow a(2026+4k)=a(2(1013+2k))=1013+2k, a(2028)=507\Rightarrow a(2028+4k)=a(4(507+k))=507+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(2024)=253, a(2032)=127, a(2040)=255, a(2048)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=2024}^{2048} a(n)=(2025+2027+...+2047)+(a(2026)+a(2030)+...+a(2046))+(a(2028)+a(2036)+a(2044))+(a(2024)+a(2032)+a(2040)+a(2048))$
$=24432+(1013.6+2(1+2+3+4+5))+(507.3+2+4)+(253+127+255+1)=32703$
Nên $\sum_{n=1}^{2023} a(n)=\sum_{n=1}^{2048} a(n)-\sum_{n=2024}^{2048} a(n)=1365399$
Xét $\sum_{n=4049}^{4096} a(n)$:
Tương tự ta có $a(4050+4k)=2025+2k, a(4052+4k)=1013+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(4056)=507, a(4064)=127, a(4072)=509, a(4080)=255, a(4088)=511, a(4096)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=4049}^{4096} a(n)=(4049+4051+...+4095)+(a(4050)+a(4054)+...+a(4094))+(a(4052)+a(4060)+...+a(4092))+(a(4056)+a(4064)+a(4072)+a(4080)+a(4088)+a(4096))$
$=97728+(2025.12+2(1+2+...+11))+(1013.6+(2+4+6+8+10))+(507+127+509+255+511+1)=130178$
Nên $\sum_{n=1}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4096} a(n)-\sum_{n=4049}^{2096} a(n)=5462228$
Suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4048} a(n)-\sum_{n=1}^{2024} a(n)=4096829$

Sửa lỗi LaTeX

Ta chứng minh bổ đề: $S(2^n)=\frac{4^n+2}{3}, n\in\mathbb{N^*}$, $S(2^n)$ là tổng các ước lẻ lớn nhất của các số từ $1$ đến $2^n(1)$Thật vậy: Ta thấy rằng $\{1,2,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2,4,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2.1,2.2,...,2.2^{n-1}\}$Nên $S(2^n)=1+3+...+2^n+S(2^{n-1})=4^{n-1}+S(2^{n-1})$Với $n=1$ thì $S(2^1)=2$ tức $(1)$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in\mathbb{N^*})$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$. Thật vậy, $S(2^{k+1})=4^k+S(2^k)=4^k+\frac{4^k+2}{3}=\frac{4^{k+1}+2}{3}$, tức $(1)$ đúng với $n=k+1$Vậy bổ đề được cm.Trờ lại bài, từ bổ đề dễ dàng suy ra $ \sum_{n=1}^{2048} a(n)=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102$, $ \sum_{n=1}^{4096} a(n)=\frac{4^{12}+2}{3}=5592406 $
Xét $\sum_{n=2025}^{2048} a(n)$: $a(2026)=1013\Rightarrow a(2026+4k)=a(2(1013+2k))=1013+2k, a(2028)=507\Rightarrow a(2028+4k)=a(4(507+k))=507+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(2024)=253, a(2032)=127, a(2040)=255, a(2048)=1$ $\Rightarrow \sum_{n=2024}^{2048} a(n)=(2025+2027+...+2047)+(a(2026)+a(2030)+...+a(2046))+(a(2028)+a(2036)+a(2044))+(a(2024)+a(2032)+a(2040)+a(2048))$
$=24432+(1013.6+2(1+2+3+4+5))+(507.3+2+4)+(253+127+255+1)=32703$
Nên $\sum_{n=1}^{2023} a(n)=\sum_{n=1}^{2048} a(n)-\sum_{n=2024}^{2048} a(n)=1365399$
Xét $\sum_{n=4049}^{4096} a(n)$:Tương tự ta có $a(4050+4k)=2025+2k, a(4052+4k)=1013+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(4056)=507, a(4064)=127, a(4072)=509, a(4080)=255, a(4088)=511, a(4096)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=4049}^{4096} a(n)=(4049+4051+...+4095)+(a(4050)+a(4054)+...+a(4094))+(a(4052)+a(4060)+...+a(4092))+(a(4056)+a(4064)+a(4072)+a(4080)+a(4088)+a(4096))$$=97728+(2025.12+2(1+2+...+11))+(1013.6+(2+4+6+8+10))+(507+127+509+255+511+1)=130178$Nên $\sum_{n=1}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4096} a(n)-\sum_{n=4049}^{2096} a(n)=5462228$Suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4048} a(n)-\sum_{n=1}^{2024} a(n)=4096829$

Nhận xét: Lời giải khá lòng vòng, định hướng không thực tế, tuy ra kết quả chính xác nhưng quá nặng tính toán.
Điểm: 9/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:29
Chấm điểm

[habcy12345]

Ta chứng minh bổ đề: $S(2^n)=\frac{4^n+2}{3}, n\in\mathbb{N^*}$, $S(2^n)$ là tổng các ước lẻ lớn nhất của các số từ $1$ đến $2^n(1)$
Thật vậy: Ta thấy rằng $\{1,2,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2,4,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2.1,2.2,...,2.2^{n-1}\}$
Nên $S(2^n)=1+3+...+2^n+S(2^{n-1})=4^{n-1}+S(2^{n-1})$
Với $n=1$ thì $S(2^1)=2$ tức $(1)$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in\mathbb{N^*})$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$. Thật vậy, $S(2^{k+1})=4^k+S(2^k)=4^k+\frac{4^k+2}{3}=\frac{4^{k+1}+2}{3}$, tức $(1)$ đúng với $n=k+1$
Vậy bổ đề được cm.
Trờ lại bài, từ bổ đề dễ dàng suy ra $\sum_{n=1}^{2048} a(n)=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102, \sum_{n=1}^{4096} a(n)=\frac{4^{12}+2}{3}=5592406$
Xét $\sum_{n=2024}^{2048} a(n)$:
$a(2026)=1013\Rightarrow a(2026+4k)=a(2(1013+2k))=1013+2k, a(2028)=507\Rightarrow a(2028+4k)=a(4(507+k))=507+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(2024)=253, a(2032)=127, a(2040)=255, a(2048)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=2024}^{2048} a(n)=(2025+2027+...+2047)+(a(2026)+a(2030)+...+a(2046))+(a(2028)+a(2036)+a(2044))+(a(2024)+a(2032)+a(2040)+a(2048))$
$=24432+(1013.6+2(1+2+3+4+5))+(507.3+2+4)+(253+127+255+1)=32703$
Nên $\sum_{n=1}^{2023} a(n)=\sum_{n=1}^{2048} a(n)-\sum_{n=2024}^{2048} a(n)=1365399$
Xét $\sum_{n=4049}^{4096} a(n)$:
Tương tự ta có $a(4050+4k)=2025+2k, a(4052+4k)=1013+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(4056)=507, a(4064)=127, a(4072)=509, a(4080)=255, a(4088)=511, a(4096)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=4049}^{4096} a(n)=(4049+4051+...+4095)+(a(4050)+a(4054)+...+a(4094))+(a(4052)+a(4060)+...+a(4092))+(a(4056)+a(4064)+a(4072)+a(4080)+a(4088)+a(4096))$
$=97728+(2025.12+2(1+2+...+11))+(1013.6+(2+4+6+8+10))+(507+127+509+255+511+1)=130178$
Nên $\sum_{n=1}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4096} a(n)-\sum_{n=4049}^{2096} a(n)=5462228$
Suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4048} a(n)-\sum_{n=1}^{2024} a(n)=4096829$
Trùng lặp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:15
Chấm điểm

[Neon2701]

Dễ dàng chứng minh được $a(2n)=a(n)$ và $a(2n+1)=2n+1$.
Ta có:
$\sum_{n=2024}^{4048}a(n)=\sum_{n=1012}^{2023}a(2n+1)+\sum_{n=1012}^{2024}a(2n)$

$=\sum_{n=1012}^{2023}(2n+1)+\sum_{n=1012}^{2024}a(n)$

$=\sum_{n=1012}^{2023}(2n+1)+\sum_{n=506}^{1011}(2n+1)+\sum_{n=506}^{1012}a(n)$

$=\sum_{n=506}^{2023}(2n+1)+\sum_{n=506}^{1012}a(n)$

$=\sum_{n=253}^{2023}(2n+1)+\sum_{n=253}^{506}a(n)$

$=\sum_{n=126}^{2023}(2n+1)+\sum_{n=127}^{253}a(n)$

$=\sum_{n=63}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=64}^{126}a(n)$

$=\sum_{n=32}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=32}^{63}a(n)$

$=\sum_{n=16}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=16}^{31}a(n)$

$=\sum_{n=8}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=8}^{15}a(n)$

$=\sum_{n=4}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=4}^{7}a(n)$

$=\sum_{n=2}^{2023}(2n+1)+253+\sum_{n=2}^{3}a(n)$

$=\sum_{n=1}^{2023}(2n+1)+1+253\\=2024^2+253=4096829.$

Nhận xét: Bài làm tốt, định hướng đúng.
Điểm 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:28
Chấm điểm

[Neon2701]

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

Dễ dàng chứng minh được: $a(n)=a(2n);a(2n+1)=2n+1$.
Ta chứng minh $\sum_{i}^{2i-1}a(n)=i^2$ $\forall i\in\mathbb{N^*}$.
Với $i=1$ thì $a(1)=1$ - thoả mãn.
Giả sử với $i=k$ thì $\sum_{k}^{2k-1}a(n)=k^2$.
Cần chứng minh với $i=k+1$ thì $\sum_{k+1}^{2k+1}a(n)=(k+1)^2$.
Thật vậy:
$\sum_{k+1}^{2k+1}a(n)=\sum_{k}^{2k-1}a(n)+a(2k)+a(2k+1)-a(k)$.
$\Leftrightarrow \sum_{k+1}^{2k+1}a(n)=k^2+2k+1=(k+1)^2$.
Do đó :
$\sum_{2024}^{4048}a(n)=\sum_{2024}^{4047}a(n)+a(4048)$.
$=2024^2+253=4096829$.

Nhận xét: Đây là cách làm gần với đáp án nhất. Chú ý chỉ rõ ký hiệu biến chỉ số $\sum_{n=k}^{2k-1} a(n)$ thay vì $\sum_{k}^{2k-1}a(n)$. Bởi khi đó $a(n)$ sẽ là hằng số vì chẳng liên quan gì đến biến chỉ số $k$ cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:30
Chấm điểm

[habcy12345]

Từ $2024$ đến $4048$ ta nhận thấy các số này có thể chứa thừa số $2$ trong dạng phân tích với số mũ không vượt quá $11$ bởi vì nếu số mũ của $2$ lớn hơn $11$ thì số đó sẽ $\geq 2^{12}=4096$ (vô lí):
Các số không chứa thừa số $2$ trong dạng phân tích: $2025, 2027,..., 4047$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là
$2025+2027+...+4047=3072432$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $1$ trong dạng phân tích: $2.1013, 2.1015,..., 2.2023$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $1013+1015+...+2023=768108$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $2$ trong dạng phân tích: $2^2.507, 2^2.509,..., 2^2.1011$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $507+509+...+1011=192027$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $3$ trong dạng phân tích: $2^3.253, 2^3.255,..., 2^3.505$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $253+255+...+505=48133$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $4$ trong dạng phân tích: $2^4.127, 2^4.129,..., 2^4.253$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $127+129+...+253=12160$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $5$ trong dạng phân tích: $2^5.65, 2^5.67,..., 2^5.125$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $65+67+...+125=2945$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $6$ trong dạng phân tích: $2^6.33, 2^6.35,..., 2^6.63$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $33+35+...+63=768$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $7$ trong dạng phân tích: $2^7.17, 2^7.19,..., 2^7.31$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $17+19+...+31=192$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $8$ trong dạng phân tích: $2^8.9, 2^8.11,..., 2^8.15$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $9+11+...+15=48$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $9$ trong dạng phân tích: $2^9.5, 2^9.7$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $5+7=12$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $10$ trong dạng phân tích: $2^10.3$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $3$
Các số chứa thừa số $2$ với số mũ là $11$ trong dạng phân tích: $2^11$, tổng các ước lẻ lớn nhất của các số trên là $1$
Vậy $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=3072432+768108+192027+48133+12160+2945+768+192+48+12+3+1=4096829$

Nhận xét: Một cách làm rất thủ công!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:31
Chấm điểm

[VGNam]

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

 

[Nguyen Bao Khanh]

Từ giả thiết, ta nhận xét rằng với $ \forall p; t \in \mathbb{N}; t$ lẻ thì ước số lẻ lớn nhất của $t$ là $t$ hay $a(t)=t$ và $a(2^p.t)=a(t)=t.$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức sau: $\sum_{n=k}^{2k}a(n)=k^2+a(k); \forall k \in \mathbb{N^*} (*)$
Thật vậy, giả sử mệnh đề trên đúng đến $k=m$. Khi đó $\sum_{n=m}^{2m}a(n)=m^2+a(m); m \in \mathbb{N^*} $.
Khi đó kết hợp nhận xét trên, suy ra $\sum_{n=m+1}^{2(m+1)}a(n)=\sum_{n=m}^{2m}a(n)+a(2m+1)+a(2m+2)-a(m)=m^2+a(m)+(2m+1)+a(2(m+1))-a(m)=(m+1)^2+a(m+1).$
Từ đó, suy ra mệnh đề $(*)$ cũng đúng với $k=m+1$. Theo nguyên lý quy nạp suy ra đẳng thức $(*)$ đúng với $\forall k \in \mathbb{N^*}.$

Khi đó, ta thay $k=2024$, suy ra $\sum_{n=2024}^{4048}a(n)=2024^2+a(2024)=4096576+a(2^3.253)=4096576+253=4096829.$
Vậy giá trị của tổng trong đề bài là: 4096829.


Nhận xét: Định hướng đúng như đáp án. Lưu ý ngắt dòng nếu quá dài.
Điểm: 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:35
Chấm điểm

[Nguyen Bao Khanh]

Từ định nghĩa của $a(n)$, ta có $a(t)=t; \forall t $ là số tự nhiên lẻ và $a(2^p.t)=a(t)=t; \forall p \in \mathbb{N}; t$ là số tự nhiên lẻ.$(1)$
Ta chứng minh $\sum_{n=k}^{2k}a(n)=k^2+a(k); \forall k \in \mathbb{N^*}. (*)$
Thật vậy, giả sử mệnh đề trên đúng đến $k=m$. Khi đó $\sum_{n=m}^{2m}a(n)=m^2+a(m).$
Kết hợp nhận xét $(1)$, suy ra $\sum_{n=m+1}^{2(m+1)}a(n)=\sum_{n=m}^{2m}a(n)-a(m)+a(2m+1)+a(2m+2)=m^2+a(m)-a(m)+2m+1+a(2(m+1))=(m+1)^2+a(m+1).$
Suy ra mệnh đề trên đúng với $k=m+1$. Theo nguyên lý quy nạp, ta có $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $k$.
Khi đó ta thay $k=2024$, suy ra $\sum_{n=2024}^{4048}a(n)=2024^2+a(2024)=2024^2+a(2^3.253)=2024^2+253=4096829.$
Vậy giá trị của tổng trong đề bài là: $4096829.$
Nhận xét: Không khác gì bài trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:37
Chấm điểm

[Leonguyen]

Một lời giải vô cùng thủ công, mong sẽ chính xác ạ.
Các số lẻ có ước số lẻ lớn nhất là chính nó.
Tổng các số lẻ từ 2024 đến 2048 là $(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right):2=3072432.\qquad(1)$
Xét các số tự nhiên chẵn từ 2024 đến 2048.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 là 2026 và 2046.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 là 2028 và 4044.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 8 mà không chia hết cho 16 là 2024 và 4040.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 16 mà không chia hết cho 32 là 2032 và 4048.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 32 mà không chia hết cho 64 là 2048 và 4000.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 64 mà không chia hết cho 128 là 2112 và 4032.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 128 mà không chia hết cho 256 là 2176 và 3968.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 256 mà không chia hết cho 512 là 2304 và 3840.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 512 mà không chia hết cho 1024 là 2560 và 3584.
Số chia hết cho 1024 mà không chia hết cho 2048 là 3072.
Số số chia hết cho 2048 là 2048.
Nhận xét: Nếu $a$ chia hết cho $2^k$ mà không chia hết cho $2^{k+1}$ thì $a+2^{k+1}$ cũng sẽ có tính chất như trên.
Do đó tổng ước số lẻ lớn nhất của các số:
Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 là $\frac{2026+2030+...+2046}{2}=1013+1015+...+2023.$
Chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 là $\frac{2028+...+4044}{4}=507+...+1011.$
Chia hết cho 8 mà không chia hết cho 16 là $\frac{2024+...+4040}{8}=253+...+505.$
Chia hết cho 16 mà không chia hết cho 32 là $\frac{2032+...+4048}{16}=127+...+251+253.$
Chia hết cho 32 mà không chia hết cho 64 là $\frac{2048+...+4000}{32}=65+...+125.$
Chia hết cho 64 mà không chia hết cho 128 là $\frac{2112+...+4032}{64}=33+...+63.$
Chia hết cho 128 mà không chia hết cho 256 là $\frac{2176+...+3968}{128}=17+...+31.$
Chia hết cho 256 mà không chia hết cho 512 là $\frac{2304+...+3840}{256}=9+...+15.$
Chia hết cho 512 mà không chia hết cho 1024 là $\frac{2560+3584}{512}=5+7.$
Chia hết cho 1024 mà không chia hết cho 2048 là $\frac{3172}{1024}=3.$
Chia hết cho 2048 là $\frac{2048}{2048}=1.$
Tổng ước số lẻ lớn nhất của các số chẵn từ 2024 đến 4048 là $(1+3+5+...+2023)+253=1012^2+253=1024397.\qquad(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=3072432+1024397=4096829.$
Nhận xét: Thêm một lời giải thủ công!
Điểm 9/10.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:40
Chấm điểm

[Leonguyen]

Dễ thấy $a(p)=a(2p),a(2p+1)=2p+1.$
Ta sẽ chứng minh $\sum_{n=k}^{2k-1} a(2n)=k^2 (k \in \mathbb{N}^{*}) (*).$
Thử với $n=1$ ta có $a(2)=1=n^2$ (thoả mãn).
Giả sử $n=i(i\in \mathbb{N}^{*})$ thoả mãn $(*)$, tức là $\sum_{n=i}^{2i-1} a(2i)=i^2.$
Cần chứng minh $n=i+1$ cũng đúng, hay $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2i)=(i+1)^2.$
Thật vậy, ta có $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2i)$ $=\sum_{n=i}^{2i-1} a(2i)-a(2i)+a(4i)+a(4i+2)$ $=i^2+a(2i+1)$ $=i^2+2i+1$ $=(i+1)^2, $ ta chứng minh được đẳng thức $(*).$
Vậy:
$\begin{align*} \sum_{n=2024}^{4048} a(n)&=\sum_{n=1012}^{2023} a(2n)+\sum_{n=1012}^{2023} a(2n+1)+a(4048) \\&=1012^2+\sum_{n=1012}^{2023} (2n+1)+253\\&=1024397+(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right)\div 2\\&=\boxed{4096829}.\end{align*}$

Nhận xét: Cách này tương tự như đáp án, tuy nhiên rõ ràng $\sum_{n=k}^{2k-1}a(2n)=\sum_{n=k}^{2k-1}a(n)$ nên không cần phải tách ra như vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:44
Chấm điểm

[Leonguyen]

Em xin lỗi, mong mod xoá đi bài trước của em do nhầm kí hiệu ạ, em cảm ơn ạ.
Dễ thấy $a(p)=a(2p),a(2p+1)=2p+1.$
Ta sẽ chứng minh $\sum_{n=k}^{2k-1} a(2n)=k^2 (k \in \mathbb{N}^{*}) (*).$
Thử với $n=1$ ta có $a(2)=1=n^2$ (thoả mãn).
Giả sử $n=i(i\in \mathbb{N}^{*})$ thoả mãn $(*)$, tức là $\sum_{n=i}^{2i-1} a(2n)=i^2.$
Cần chứng minh $n=i+1$ cũng đúng, hay $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2n)=(i+1)^2.$
Thật vậy, ta có $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2n)$ $=\sum_{n=i}^{2i-1} a(2n)-a(2i)+a(4i)+a(4i+2)$ $=i^2+a(2i+1)$ $=i^2+2i+1$ $=(i+1)^2, $ ta chứng minh được đẳng thức $(*).$
Vậy:
$\begin{align*} \sum_{n=2024}^{4048} a(n)&=\sum_{n=1012}^{2023} a(2n)+\sum_{n=1012}^{2023} a(2n+1)+a(4048) \\&=1012^2+\sum_{n=1012}^{2023} (2n+1)+253\\&=1024397+(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right)\div 2\\&=\boxed{4096829}.\end{align*}$
Trùng lặp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:52
Chấm điểm

[fanmu20nam]

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

Đặt $n=2^k.l$ ($l$ là số tự nhiên lẻ, $k\in \mathbb{N}$), $S=\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$. Theo bài ra, ta có $a(n)=l \Rightarrow n=2^k.a(n) \Leftrightarrow a(n)= \frac{n}{2^k} $.
Do $a(n)$ là số lẻ và $n\leq 4048 \Rightarrow 1 \leq a(n) \leq \frac{4048}{2^k}=2^{12-k} (1) \Rightarrow 12-k \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 12$.
Với $k=12$, lúc này theo (1) ta có $1 \leq a(n) \leq 2^{12-12} = 1 \Rightarrow a(n) = 1$, lúc này $S=1$.
Với $0 \leq k \leq 11$, gọi $S_k$ là tổng tất cả ước số lẻ lớn nhất của $n=2^k.a(n)$ với mỗi trường hợp $k$.
Ta có $2^{12-k}$ là số chẵn nên theo (1), $1 \leq a(n) \leq 2^{12-k}-1$, từ đây $S_k=1+3+5+...+(2^{12-k}-1)=2^{2(11-k)}=4^{11-k}$
Lúc này, ta có $S=1+4^{11-11}+4^{11-10}+4^{11-9}+...+4^{11-0}=1+4^0+4^1+4^2+...+4^{11}=1+\frac{(4-1)(4^0+4^1+4^2+...+4^{11})}{3}$
$=1+\frac{4^{12}-1}{3}=5592406$.
Vậy $S=5592406$ hay $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=5592406$.
Sai! Điểm 2/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:58
Chấm điểm

[fanmu20nam]

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

Đặt $n=2^k.l$ ($l$ là số tự nhiên lẻ, $k\in \mathbb{N}$), $S=\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$. Theo bài ra, ta có $a(n)=l \Rightarrow n=2^k.a(n) \Leftrightarrow a(n)= \frac{n}{2^k} $.
Do $a(n)$ là số lẻ và $n\leq 4048 \Rightarrow 1 \leq a(n) \leq \frac{4048}{2^k}=2^{12-k} (1) \Rightarrow 12-k \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 12$.
Với $k=12$, lúc này theo (1) ta có $1 \leq a(n) \leq 2^{12-12} = 1 \Rightarrow a(n) = 1$, lúc này $S=1$.
Với $0 \leq k \leq 11$, gọi $S_k$ là tổng tất cả ước số lẻ lớn nhất của $n=2^k.a(n)$ với mỗi trường hợp $k$.
Ta có $2^{12-k}$ là số chẵn nên theo (1), $1 \leq a(n) \leq 2^{12-k}-1$, từ đây $S_k=1+3+5+...+(2^{12-k}-1)=2^{2(11-k)}=4^{11-k}$
Lúc này, ta có $S=1+4^{11-11}+4^{11-10}+4^{11-9}+...+4^{11-0}=1+4^0+4^1+4^2+...+4^{11}=1+\frac{(4-1)(4^0+4^1+4^2+...+4^{11})}{3}$
$=1+\frac{4^{12}-1}{3}=5592406$.
Vậy $S=5592406$ hay $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=5592406$.
Trùng lặp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 15:00
Chấm điểm

[trantiennguyen]

Nhận xét: Sau khi thay kính lúp bằng kính hiển vi thì mình đã “dịch” được. Bài làm này chỉ ra rằng: Các ước lẻ lớn nhất của $2024$ số $2024,…,4047$ là phân biệt, trong khi từ $1$ đến $4047$ có đúng $2024$ số lẻ
Do đó lấy tổng các số lẻ đó với $a(4048)$ là ra!
Một cách giải khá loằng ngoằng và thú vị, rất tiếc không thể có điểm tối đa.
Điểm 9/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 15:15
Chấm điểm

[BinhPQ]

Ta có nhận xét sau:
Nếu n là số lẻ thì: a(n) = n.
Nếu n = 2k thì:
a(n) = a(2k) = a(k)
Do đó a(2024) + a(2026) + ... + a(4048)
= a(1012) + a(1013) + ... + a(2024) + 2025 + 2027 + ... + 4047
= a(506) + a(507) + ... + a(1012) + 1013 + 1015 + ... + 2023 + 2025 + ... + 4047
= a(253) + a(254) + ... + a(506) + 507 + 509 + ... + 4047
= a(127) + a(128) + ... + a(253) + 253 + 255 + ... + 4047
= a(64) + a(65) + ... + a(126) + 127 + ... + 4047 + 253
= a(32) + ... + a(63) + 65 + 67 + ... + 4047 + 253
= a(16) + ... + a(31) + 33 + ... + 4047 + 253
= a(8) + ... + a(15) + 17 + ... + 4047 + 253
= a(4) + ... + a(7) + 9 + ... + 4047 + 253
= a(2) + a(3) + 5 + 7 + 9 + ... + 4047 + 253
= 0 + 3 + 5 + ... + 4047 + 253
= 2024^2 + 252
Vậy tổng đã cho bằng: 2024^2 + 252
Nhận xét: Sai lầm ngớ ngẩn $a(2)=1$ đâu phải $=0$?
Điểm 6/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 15:18
Chấm điểm

[E. Galois]

Hết giờ làm bài. Thí sinh và khán giả được nhận xét bài của nhau. Thí sinh nào tự sửa bài của mình sẽ bị loại.