Chủ đề này có 17 trả lời

[E. Galois]

Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực BĐT của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 14/02/2024 (Mùng 5 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 15/02/2024 (Mùng 6 Tết)

Sau khi trọng tài Ispectorgadget post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.

**Lưu ý: Thí sinh cần nhấn nút “Xem trước” bài viết của mình trước khi post, tránh những lỗi không đáng có (lỗi Latex, đánh máy, v.v…). Bởi vì BTC sẽ căn cứ bài viết đó là lời giải chính thức của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2024 - 10:11

[PSW]

Đề bài

Cho $x,y$ là số thực thoả mãn
$$x^2-y^2+2xy=5.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $3x^2+2y^2$.

[habcy12345]

Ta chứng minh $3x^2+2y^2\geq 2(x^2-y^2+2xy)\Leftrightarrow (x-2y)^2\geq 0$ (đúng)
Do đó $3x^2+2y^2\geq 2.5=10$
Dấu "$=$" xảy ra khi $(x,y)=(2\sqrt{\frac{5}{7}},\sqrt{\frac{5}{7}}); (-2\sqrt{\frac{5}{7}}, -\sqrt{\frac{5}{7}})$
Vậy giá trị nhỏ nhất là $10$

 

Nhận xét: Lời giải chính xác, ngắn gọn
Điểm: 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 22:59

[nguyenhuybao06]

Ta chứng minh bất đẳng thức sau $$3x^2+2y^2\geq2(x^2-y^2+2xy)\Leftrightarrow x^2+4y^2-4xy\geq0\Leftrightarrow (x-2y)^2\geq0.$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng nên ta có $$3x^2+2y^2\geq2(x^2-y^2+2xy)=10.$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $3x^2+2y^2=10$ khi $(x,y)\in\left\lbrace\left(2\sqrt{\dfrac{5}{7}},\sqrt{\dfrac{5}{7}} \right);\left( -2\sqrt{\dfrac{5}{7}},-\sqrt{\dfrac{5}{7}} \right)  \right\rbrace. $

 

Nhận xét: Lời giải chính xác, ngắn gọn
Điểm: 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 22:59

[Nguyen Bao Khanh]

Từ giả thiết, ta có $x^2-y^2+2xy=5$. 

Ta xét: $$3x^2+2y^2=x^2+4y^2+(2x^2-2y^2)=x^2-4xy+4y^2+2(x^2-y^2+2xy)=(x-2y)^2+2.5=(x-2y)^2+10$$.

Vì $(x-2y)^2 \ge 0; \forall x;y \in \mathbb{R}$ nên suy ra $$3x^2+2y^2=(x-2y)^2+10 \ge 10 ; \forall x;y \in \mathbb{R}.$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x-2y=0\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y\\(2y)^2-y^2+2.2y.y=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y\\ 7y^2=5 \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y\\y=\pm \sqrt{\frac{5}{7}} \end{matrix}\right.$

Từ đó, ta có $(x;y) \in \{ (2\sqrt{\frac{5}{7}};\sqrt{\frac{5}{7}});(-2\sqrt{\frac{5}{7}};-\sqrt{\frac{5}{7}}) \}$ (thỏa mãn).

Vậy $\text{min} \{3x^2+2y^2\}=10$ khi và chỉ khi $(x;y) \in \{ (2\sqrt{\frac{5}{7}};\sqrt{\frac{5}{7}});(-2\sqrt{\frac{5}{7}};-\sqrt{\frac{5}{7}}) \}$

 

Nhận xét: Lời giải chính xác, ngắn gọn
Điểm: 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:00

[bahieupbc]

Lời giải:

Đặt $P=3x^2+2y^2$

Ta có:

$x^2-y^2+2xy=5$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=2y^2+5$

$\Leftrightarrow x=-y+\sqrt{2y^2+5} \wedge x=-y-\sqrt{2y^2+5}$

TH1: $x=-y+\sqrt{2y^2+5}$

Khi đó:

$P=3(-y+\sqrt{2y^2+5})^2+2y^2=11y^2-6y\sqrt{2y^2+5}+15$

Ta đi chứng minh: $11y^2+5\geq 6y\sqrt{2y^2+5}$ 

BĐT trên tương đương với $(7y^2-5)^2\geq0$ ( Luôn đúng với mọi $y$ $\in \mathbb{R}$ )

Khi đó: $P=(11y^2+5-6y\sqrt{2y^2+5})+10\geq10$ với mọi $y$ $\in \mathbb{R}$

Đẳng thức xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} 7y^2=5 & \\ x=-y+\sqrt{2y^2+5} & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ x=2\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$ $\wedge \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ x=4\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$( Loại )

TH2: $x=-y-\sqrt{2y^2+5}$

Khi đó:

$P=3(-y-\sqrt{2y^2+5})^2+2y^2=11y^2+6y\sqrt{2y^2+5}+15$

- Nếu $y\geq 0$

$\left\{\begin{matrix} 11y^2\geq0 & \\ 6y\sqrt{2y^2+5}\geq 0 & \end{matrix}\right.$

Khi đó: $P \geq 15$

- Nếu $y<0$

Đặt $y=-t$ với $t>0$

Khi đó: $P=11t^2-6t\sqrt{2t^2+5}+15$

Chứng minh tương tự như TH1 ta được $P \geq 10$

Đẳng thức xảy ra khi:

$t=\sqrt{\frac{5}{7}}$ $\Leftrightarrow y=-\sqrt{\frac{5}{7}}$ $\Leftrightarrow x=-2\sqrt{\frac{5}{7}}$

Vậy $minP=10 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ y=\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.\wedge \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ y=-\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$

 

Nhận xét: Lời giải khá thủ công và sai kí hiệu kết luận dấu bằng xảy ra.
Điểm: 7/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:06

[Hahahahahahahaha]

ta có:

$20=4x^{2}+8xy-4y^{2}=2(3x^{2}+2y^{2})-2(x-2y)^{2}\leq 2(3x^{2}+2y^{2})$

$=>3x^{2}+2y^{2}\geq 10$

dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x=2y & \\ x^{2}+2xy-y^{2}=5 & \end{matrix}\right.$

$<=>4y^{2}+4y^{2}-y^{2}=5=>y=\sqrt{\frac{5}{7}}=>x=2\sqrt{\frac{5}{7}}$ hoặc $y=-\sqrt{\frac{5}{7}}=>x=-2\sqrt{\frac{5}{7}} $

vậy GTNN của $3x^{2}+2y^{2}$ là $10$

xảy ra khi và chỉ khi $(x;y)=(2\sqrt{\frac{5}{7}};\sqrt{\frac{5}{7}}),(-2\sqrt{\frac{5}{7}};-\sqrt{\frac{5}{7}})$

 

[Neon2701]

Ta có:

$$3x^2+2y^2=2(x^2-y^2+2xy)+(x^2-4xy+4y^2)$$

$$=10+(x-2y)^2\geq10$$

Vậy GTNN của $3x^2+2y^2$ là $10$ khi $x=\dfrac{2\sqrt{35}}{7}$ và $y=\dfrac{3\sqrt{35}}{7}$.

[hngmcute]

$x^2-y^2+2xy=5$

$\Leftrightarrow x= \frac{-2y\pm\sqrt{8y^2+20}}{2}$

$\Rightarrow 3x^2= 9y^2\pm 3y\sqrt{8y^2+20}+15$

$\Rightarrow 3x^2 + 2y^2=11y^2 \pm 3y\sqrt{8y^2+20}+15$

$\geq 11y^2-3y\sqrt{8y^2+20}+15$

$\geq 11y^2-9y^2-\frac{8y^2+20}{4}+15$

$=10$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow x= \frac{2\sqrt{35}}{7}; y = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Vậy $MIN$ $ 3x^2+2y^2=10$

 

 

Nhận xét: Trình bày khá khó đọc và thiếu trường hợp dấu "=" xảy ra, thiếu đặt điều kiệu để phương trình có nghiệm.
Điểm: 6/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:11

[Leonguyen]

Ta có $x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow(x-2y)^2\ge0$ (đúng). Đẳng thức xảy ra khi $x=2y.$

$3x^2+2y^2=2x^2-2y^2+(x^2+4y^2)\ge2x^2-2y^2+4xy=10.$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=2y\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ $\vee$ $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+2y^2$ là $10,$ đạt tại $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right. .$

 

Nhận xét: Lời giải chính xác
Điểm: 10/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:10

[nhancccp]

Để phương trình $x^2-y^2+2xy=5 (*)$ có nghiệm thì $\Delta=2x^2-5 \geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x \geq  \sqrt{\frac{5}{2}}\\ x \leq -\sqrt{\frac{5}{2}}\\ \end{matrix} \right.$

Phương trình $(*)$ có nghiệm $y=x \pm \sqrt{2x^2-5}$

Trường hợp 1:Thay $y=x+\sqrt{2x^2-5}$ vào $A=3x^2+2y^2$ ta được $A=9x^2+4\sqrt{2x^2-5}-10$ 

Ta có $A'=\frac{4(4x^2-5)}{\sqrt{2x^2-5}}+18x=\frac{2(\sqrt{2x^2-5}+4x)(\sqrt{2x^2-5}-4x)}{\sqrt{2x^2-5}}$ $(x > \sqrt{\frac{5}{2}}$ hoặc $x < -\sqrt{\frac{5}{2}}$)

Do đó $A'=0\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-5}-4x=0\Rightarrow 16x^2=2x^2-5\Leftrightarrow x=-2\sqrt{\frac{5}{7}} (tm) $

(Vẽ bảng biến thiên)

Theo bảng biến thiên $minA=10$ khi $x=-2\sqrt{\frac{5}{7}}$ (và $y=-\frac{\sqrt{35}}{7}$)

Trường hợp 2:Thay $y=x-\sqrt{2x^2-5}$ vào $A=3x^2+2y^2$ ta được $A=9x^2-4\sqrt{2x^2-5}-10$

Ta có $A'=-\frac{4(4x^2-5)}{\sqrt{2x^2-5}}+18x=\frac{2(-8x^2+9\sqrt{2x^2-5}x+10)}{\sqrt{2x^2-5}}$ $(x > \sqrt{\frac{5}{2}}$ hoặc $x < -\sqrt{\frac{5}{2}}$)

Do đó $A'=0\Leftrightarrow -8x^2+9\sqrt{2x^2-5}x+10=0\Rightarrow (8x^2-10)^2=81x^2(2x^2-5)\Leftrightarrow x=2\sqrt{\frac{5}{7}} (tm)$

(Vẽ bảng biến thiên)

Theo bảng ta thấy $min A=10$ khi $x=2\sqrt{\frac{5}{7}}$ (và $y=\frac{\sqrt{35}}{7}$)

Tổng kết từ 2 trường hợp ta có $minA=10$ khi $x=\pm 2\sqrt{\frac{5}{7}};y=\pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

 

[William Nguyen]

Em là học sinh THPT, mong muốn đưa ra lời giải bằng cách THPT để kết thúc mọi người có thể tham khảo, mong ad duyệt cho ạ!

Đặt $P=3x^2+2y^2$

 

Xét 2 TH sau:

TH1: $y = 0$

Ta có $x^2=5$ và $P=15$

 

TH2: $y\neq0$

Ta có $\frac{P}{5}=\frac{3x^2+2y^2}{x^2-y^2+2xy}=\frac{3t^2+2}{t^2+2t-1}$, với $t=\frac{x}{y}$

Do $y^2.(t^2+2t-1)=5$ nên $t^2+2t-1 >0$

 

Xét hàm số $f(t)=\frac{3t^2+2}{t^2+2t-1}, t \in (-\infty;-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2};+\infty)$

 

Có $f'(t)=\frac{6t^2-10t-4}{t^4+4t^3+2t^2-4t+1}$

$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$

 

Lập bảng biến thiên và thu được $min f(t) = f(2) = 2$

Hệ $\left\{\begin{matrix} x=2y\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right.$ có nghiệm $(x; y)=\left ( \pm 2\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}};\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}\right)$

 

Kết luận: $min P = 10$

[trantiennguyen]

Từ giả thiết có x^2=y^2-2xy+5
Khi đó 3x^2+2y^2=x^2+2y^2+2(y^2-2xy+5)=x^2+4y^2-4xy+10=(x-2y)^2+10>=10
Với x=2y, giả thiết trở thành 4y^2-y^2+4y^2=5 <=> y^2=5/7
Vậy min (3x^2+2y^2)=10 khi y=sqrt(5/7),x=2y=2sqrt(5/7) hoặc y=-sqrt(5/7), x=2y=-2sqrt(5/7)

 

Nhận xét: Trình bày chưa rõ ràng + Latex
Điểm: 8/10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:13

[nhancccp]

Em xin bổ sung thêm ý này ạ (khúc phương trình có nghiệm $y=x\pm \sqrt{2x^2-5}$

Xét $x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}\Rightarrow y=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}$

Thế vào A ta được $A=\frac{100}{7}$, là một giá trị

Xét $x \neq \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

TH1:...

TH2:... (nêu ở trên)

 

[hxthanh]

Đã hết giờ làm bài, các thí sinh có thể nhận xét bài làm của nhau. Tuyệt đối không được sửa bài làm của mình, nếu vi phạm sẽ bị huỷ kết quả.

[Ispectorgadget]

Đáp án BTC:

Ta có: $(x-2y)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 4y^2 \ge 4xy$

Ta cần chứng minh: $3x^2+2y^2 \ge 10 = 2.(x^2-y^2+2xy)$

$\Leftrightarrow x^2+4y^2 \ge 4xy$ $\Leftrightarrow (x-2y)^2 \ge 0$

Vậy GTNN là 10 Dấu "=" xảy ra khi $x=2y$ khi đó  $(x,y)=(2\sqrt{\frac{5}{7}},\sqrt{\frac{5}{7}}); (-2\sqrt{\frac{5}{7}}, -\sqrt{\frac{5}{7}})$

[E. Galois]

Đề bài

Cho $x,y$ là số thực thoả mãn
$$x^2-y^2+2xy=5.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $3x^2+2y^2$.

 

Góp 1 lời giải THCS

 

Dễ thấy $x=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đặt $3x^2+2y^2= 5m > 0, t = \dfrac{y}{x}$, ta có:

$$\begin{align}3x^2+2y^2= 5m & \Leftrightarrow 3x^2+2y^2= m(x^2-y^2+2xy) \nonumber \\  & \Leftrightarrow (3-m)x^2+(2+m)y^2-2mxy=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow (2+m)t^2-2mt+3-m=0 \label{1} \end{align}$$

Bài toán trở thành tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho phương trình $\eqref{1}$ (ẩn $t$) có nghiệm.

Điều này tương đương với:

$$\Delta ' =  2m^2-m-6 = 2(m-2)\left(m+\dfrac{3}{2}\right) \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 2$$

 

Vậy $3x^2+2y^2 \geq 5.2=10$. 

Dấu $"="$ xảy ra khi $m =2 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-02-2024 - 21:44

[E. Galois]

DANH SÁCH THÍ SINH THẮNG GIẢI

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{No.}&\text{Member} & \text{Scores} &\text{Time post} & \text{SubSolution}\\ \hline 1& \text{habcy12345}&10&140224-12:07&0\\ \hline 2& \text{ nguyenhuybao06}&10&140224-12:13&0\\ \hline 3& \text{ Nguyen Bao Khanh}&10&140224-12:32&0\\ \hline \end{array}$$

 

Thí sinh nào chưa gửi thông tin cá nhân cho BTC hãy khẩn trương gửi thông tin để nhận giải

 

1) Họ và tên thật

2) Lớp, trường, huyện, tỉnh

3) Thông tin nhận giải

- Tên ngân hàng

- STK (Của phụ huynh cũng được)

- Tên chủ tài khoản