Đáp án:
Lời giải câu 1
Ta có kích thước của thùng nước ngọt (hình hộp chữ nhật) như sau:
xep lon 1.png 9.38K
0 Số lần tải
- Chiều dài: \(5,5 \times 6 = 33 (cm)\)
- Chiều rộng: \(5,5 \times 4 = 22 (cm)\)
- Chiều cao: \(14,5 (cm)\)
Vậy diện tích toàn phần (tổng diện tích giấy) là:
\begin{equation*}
2 \times (33 \times 22 + 33 \times 14,5 + 22 \times 14,5) = 3047 (cm^2) = 0,3047 (m^2)
\end{equation*}
Lời giải câu 2
Nếu để ý rằng ta có thể xếp các hàng "so le" với nhau, tức là lon nước hàng dưới sẽ nằm giữa hai lon kề nó ở hàng trên, thì ta có thể giảm chiều rộng tổng thể. Vậy ta hãy thử xếp cách sau: 1 lớp, mỗi lớp 4 hàng, mỗi hàng gồm 6 lon sắp so le so với hàng trên.
xep lon 2.1.png 19.47K
0 Số lần tải
Hình b là hình nhìn từ trên xuống. Chú ý rằng mỗi tam giác dựng từ các tâm hình tròn liền kề sẽ là tam giác đều với cạnh là đường kính lon. Do đó, các thông số của hình hộp là: chiều dài 33,75 cm, chiều rộng \(\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)5,5 \) cm, và chiều cao 29 cm. Diện tích toàn phần là \({\bf 3025,59} \, cm^2\), tương ứng với \(0,302559 \, m^2\), giúp tiết kiệm được \(0,70\%\) diện tích giấy phải dùng.
Phương án trên vẫn chưa đạt đủ con số \(1\%\) cần có nên ta sẽ tìm cách khác. Ta sắp các lon thành 2 lớp, mỗi lớp gồm 3 hàng, mỗi hàng gồm 4 lon.
xep lon 2.2.png 8.07K
0 Số lần tải
Diện tích toàn phần là \({\bf 2959} \,cm^2\), tương ứng với \(0,2959 \, m^2\). Phương án này giúp tiết kiệm được \(2,88\%\) diện tích giấy phải dùng: thỏa mãn đề.
Lời giải câu 3
Để thuận tiện tính toán, ta ký hiệu \(\#\) là đơn vị số lon sắp theo mỗi chiều. Dưới đây ta liệt kê một số phương án xếp lon. Chú ý rằng vì số lon ở chiều dài và rộng là tương đương nhau, nên ta chỉ cần quan tâm những cách xếp có chiều dài bằng hơn lớn hơn chiều rộng.
\begin{gather*}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{STT} & \text{Dài} (\#) & \text{Dài} (cm) & \text{Rộng} (\#) & \text{Rộng}(cm) & \text{Cao}(\#) & \text{Cao}(cm) & \text{S} (cm^2) \\
\hline 1 & 48 & 264 & 1 & 5,5 & 1 & 14,5 & 10719,50 \\
\hline 2 & 24 & 132 & 2 & 11 & 1 & 14,5 & 7051,00 \\
\hline 3 & 12 & 66 & 4 & 22 & 1 & 14,5 & 5456,00 \\
\hline 4 & 12 & 66 & 2 & 11 & 2 & 29 & 5918,00 \\
\hline 5 & 8 & 44 & 6 & 33 & 1 & 14,5 & 5137,00 \\
\hline 6 & 8 & 44 & 6 & 33 & 1 & 14,5 & 5137,00 \\
\hline 7 & 7 & 38,5 & 7 & 38,5 & 1 & 14,5 & 5197,50 \\
\hline 8 & 6 & 33 & 4 & 22 & 2 & 29 & 4642,00 \\
\hline 9 & 5 & 27,5 & 5 & 27,5 & 2 & 29 & 4702,50 \\
\hline 10 & 4 & 22 & 4 & 22 & 3 & 43,5 & 4796,00 \\
\hline 11 & 4 & 22 & 3 & 16,5 & 4 & 58 & 5192,00 \\
\hline 12 & 6,5 & 35,75 & 3,59 & 19,78 & 2 & 29 & {\bf 4636,23}
\end{array}
\end{gather*}
Vì \(48=2 \times 24\) nên ta có thể suy nghĩ dựa trên kết quả từ hai câu trước. Điều thú vị là nếu ta xếp chồng gấp đôi phương án tốt hơn ở câu 2 để thu được phương án số 11, thì kết quả lại tệ hơn là sử dụng cách xếp cổ điển (số 8). Thậm chí, nếu ta chấp nhận xếp "thiếu" như phương án số 9, ta lại tiết kiệm được giấy hơn.
Trong trường hợp này, phương án tốt nhất mà ta hiện có, số 12, lại phát triển từ cách sắp thứ nhất ở câu 2: 2 lớp, mỗi lớp gồm 4 hàng, mỗi hàng gồm 6 lon sắp so le so với hàng trên.
xep lon 3.3.png 11.63K
0 Số lần tải
Khi đó, các thông số trở thành: chiều dài 33,75 cm, chiều rộng \(\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)5,5 \) cm, và chiều cao 29 cm. Diện tích toàn phần là \( {\bf 4636,23} \, cm^2\), tương ứng với \(0,463623 \, m^2\). Cách này tốt chỉ tốt hơn cách cổ điển \(0,12\%\).
Phụ chú câu 3
Dưới đây là một số suy nghĩ khi tiếp cận bài toán.
Ta sẽ tìm cách sắp xếp "hình hộp" tối ưu. Ta gọi một cách sắp lon là "hình hộp" khi các lon xếp thành từng lớp đặt khớp nhau theo chiều cao của lon; trong mỗi lớp các lon xếp theo hàng và cột sao cho không có cột hay hàng nào thiếu.
Gọi \(N\) là tổng số lon nước cần phải sắp xếp.
Gọi \(d, h\) lần lượt là đường kính và chiều cao lon nước.
Gọi \(a, b, c\) lần lượt là số lon được sắp theo chiều dài, rộng và cao. Khi đó, theo định nghĩa của cách sắp "hình hộp", ta có:
\begin{equation}
N = a \times b \times c
\end{equation}
Kích thước hình hộp và diện tích toàn phần:
\begin{align*}
A &= ad \hfill \\
B &= bd \hfill \\
C &= ch \hfill \\
S &= 2\left( {AB + BC + AC} \right)
\end{align*}
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số, ta có:
\begin{align}
S \ge 6{\left( {ABC} \right)^{2/3}} = 6{\left( {N{d^2}h} \right)^{2/3}}
\end{align}
Dấu = xảy ra khi \( A = B = C \Leftrightarrow c = \sqrt[3]{{\frac{{N{d^2}}}{{{h^2}}}}} \) và \(a = b = \sqrt[3]{{\frac{{Nh}}{d}}}\). Tuy nhiên chú ý rằng \(a,b,c \in \mathbb N\) nên \(c \approx \sqrt[3]{{\frac{{N{d^2}}}{{{h^2}}}}} \) và \(a \approx b \approx \sqrt[3]{{\frac{{Nh}}{d}}}\).
File PDF: 
VMF_Khai_xuân_2024___Hình_học.pdf 225.27K
19 Số lần tải
