Ta chứng minh bổ đề: $S(2^n)=\frac{4^n+2}{3}, n\in\mathbb{N^*}$, $S(2^n)$ là tổng các ước lẻ lớn nhất của các số từ $1$ đến $2^n(1)$
Thật vậy: Ta thấy rằng $\{1,2,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2,4,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2.1,2.2,...,2.2^{n-1}\}$
Nên $S(2^n)=1+3+...+2^n+S(2^{n-1})=4^{n-1}+S(2^{n-1})$
Với $n=1$ thì $S(2^1)=2$ tức $(1)$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in\mathbb{N^*})$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$. Thật vậy, $S(2^{k+1})=4^k+S(2^k)=4^k+\frac{4^k+2}{3}=\frac{4^{k+1}+2}{3}$, tức $(1)$ đúng với $n=k+1$
Vậy bổ đề được cm.
Trờ lại bài, từ bổ đề dễ dàng suy ra $\sum_{n=1}^{2048} a(n)=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102, \sum_{n=1}^{4096} a(n)=\frac{4^{12}+2}{3}=5592406$
Xét $\sum_{n=2025}^{2048} a(n)$:
$a(2026)=1013\Rightarrow a(2026+4k)=a(2(1013+2k))=1013+2k, a(2028)=507\Rightarrow a(2028+4k)=a(4(507+k))=507+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(2024)=253, a(2032)=127, a(2040)=255, a(2048)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=2024}^{2048} a(n)=(2025+2027+...+2047)+(a(2026)+a(2030)+...+a(2046))+(a(2028)+a(2036)+a(2044))+(a(2024)+a(2032)+a(2040)+a(2048))$
$=24432+(1013.6+2(1+2+3+4+5))+(507.3+2+4)+(253+127+255+1)=32703$
Nên $\sum_{n=1}^{2023} a(n)=\sum_{n=1}^{2048} a(n)-\sum_{n=2024}^{2048} a(n)=1365399$
Xét $\sum_{n=4049}^{4096} a(n)$:
Tương tự ta có $a(4050+4k)=2025+2k, a(4052+4k)=1013+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(4056)=507, a(4064)=127, a(4072)=509, a(4080)=255, a(4088)=511, a(4096)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=4049}^{4096} a(n)=(4049+4051+...+4095)+(a(4050)+a(4054)+...+a(4094))+(a(4052)+a(4060)+...+a(4092))+(a(4056)+a(4064)+a(4072)+a(4080)+a(4088)+a(4096))$
$=97728+(2025.12+2(1+2+...+11))+(1013.6+(2+4+6+8+10))+(507+127+509+255+511+1)=130178$
Nên $\sum_{n=1}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4096} a(n)-\sum_{n=4049}^{2096} a(n)=5462228$
Suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4048} a(n)-\sum_{n=1}^{2024} a(n)=4096829$
Sửa lỗi LaTeX
Ta chứng minh bổ đề: $S(2^n)=\frac{4^n+2}{3}, n\in\mathbb{N^*}$, $S(2^n)$ là tổng các ước lẻ lớn nhất của các số từ $1$ đến $2^n(1)$Thật vậy: Ta thấy rằng $\{1,2,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2,4,...,2^n\}=\{1,3,...,2^n-1\} \cup \{2.1,2.2,...,2.2^{n-1}\}$Nên $S(2^n)=1+3+...+2^n+S(2^{n-1})=4^{n-1}+S(2^{n-1})$Với $n=1$ thì $S(2^1)=2$ tức $(1)$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=k(k\in\mathbb{N^*})$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$. Thật vậy, $S(2^{k+1})=4^k+S(2^k)=4^k+\frac{4^k+2}{3}=\frac{4^{k+1}+2}{3}$, tức $(1)$ đúng với $n=k+1$Vậy bổ đề được cm.Trờ lại bài, từ bổ đề dễ dàng suy ra $ \sum_{n=1}^{2048} a(n)=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102$, $ \sum_{n=1}^{4096} a(n)=\frac{4^{12}+2}{3}=5592406 $
Xét $\sum_{n=2025}^{2048} a(n)$: $a(2026)=1013\Rightarrow a(2026+4k)=a(2(1013+2k))=1013+2k, a(2028)=507\Rightarrow a(2028+4k)=a(4(507+k))=507+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(2024)=253, a(2032)=127, a(2040)=255, a(2048)=1$ $\Rightarrow \sum_{n=2024}^{2048} a(n)=(2025+2027+...+2047)+(a(2026)+a(2030)+...+a(2046))+(a(2028)+a(2036)+a(2044))+(a(2024)+a(2032)+a(2040)+a(2048))$
$=24432+(1013.6+2(1+2+3+4+5))+(507.3+2+4)+(253+127+255+1)=32703$
Nên $\sum_{n=1}^{2023} a(n)=\sum_{n=1}^{2048} a(n)-\sum_{n=2024}^{2048} a(n)=1365399$
Xét $\sum_{n=4049}^{4096} a(n)$:Tương tự ta có $a(4050+4k)=2025+2k, a(4052+4k)=1013+k$ (nếu $k$ chẵn), $a(4056)=507, a(4064)=127, a(4072)=509, a(4080)=255, a(4088)=511, a(4096)=1$
$\Rightarrow \sum_{n=4049}^{4096} a(n)=(4049+4051+...+4095)+(a(4050)+a(4054)+...+a(4094))+(a(4052)+a(4060)+...+a(4092))+(a(4056)+a(4064)+a(4072)+a(4080)+a(4088)+a(4096))$$=97728+(2025.12+2(1+2+...+11))+(1013.6+(2+4+6+8+10))+(507+127+509+255+511+1)=130178$Nên $\sum_{n=1}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4096} a(n)-\sum_{n=4049}^{2096} a(n)=5462228$Suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=\sum_{n=1}^{4048} a(n)-\sum_{n=1}^{2024} a(n)=4096829$
Nhận xét: Lời giải khá lòng vòng, định hướng không thực tế, tuy ra kết quả chính xác nhưng quá nặng tính toán.
Điểm: 9/10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 14:29
Chấm điểm