Chủ đề này có 1 trả lời

[kakachjmz]

Cho $a;b;c$ phân biệt thoả mãn: $\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )$

Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

[MHN]

Cho $a;b;c$ phân biệt thoả mãn: $\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )$
Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Dễ thấy:$(a+b)(b+c)(c+a)\neq 0$ $\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}.\frac{b-c}{b+c}.\frac{c-a}{c+a}=1.$
Đặt: $\frac{a-b}{a+b}=x; \frac{b-c}{b+c}=y;\frac{c-a}{c+a}=z$
$\Rightarrow xyz=1; \left\{\begin{matrix} x+1=\frac{2a}{a+b} & & \\ y+1=\frac{2b}{b+c} & & \\z+1=\frac{2a}{c+a} & & \end{matrix}\right.$
Ta cũng có: $\left\{\begin{matrix} 1-x=\frac{2b}{a+b} & & \\ 1-y=\frac{2c}{b+c} & & \\1-z=\frac{2a}{c+a} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xy+x+y+1)(z+1)=(xy-x-y+1)(1-z)$
$\Leftrightarrow xyz+xz+yz+z+xy+x+y+1=xy-x-y+1-xyz+xz+yz-z\Leftrightarrow x+y+z=-xyz=-1$
$\Rightarrow P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 28-04-2024 - 00:14