Chủ đề này có 8 trả lời

[kakachjmz]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng: $3abc+a\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{2}}+b\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{2}} +c\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{2}}\leq a^{2}(b+c)+\leq b^{2}(c+a)+\leq c^{2}(a+b)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kakachjmz: 28-04-2024 - 23:28

[ordinaryperson]

có : $2b^4+2c^4\geq (b^2+c^2)^2$

t/tự $2a^4+2b^4\geq (a^2+b^2)^2$

       $2a^4+2c^4\geq (a^2+c^2)^2$

suy ra cần cm $\frac{a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{2}\geq 3abc$( cô si)

=) đpcm

[dinhvu]

có : $2b^4+2c^4\geq (b^2+c^2)^2$

t/tự $2a^4+2b^4\geq (a^2+b^2)^2$

       $2a^4+2c^4\geq (a^2+c^2)^2$

suy ra cần cm $\frac{a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{2}\geq 3abc$( cô si)

=) đpcm

Bài của bạn bị ngược dấu rồi.

[tomeps]

có : $2b^4+2c^4\geq (b^2+c^2)^2$

t/tự $2a^4+2b^4\geq (a^2+b^2)^2$

       $2a^4+2c^4\geq (a^2+c^2)^2$

suy ra cần cm $\frac{a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{2}\geq 3abc$( cô si)

=) đpcm

Có vẻ phần đầu của bạn ngược dấu... Phải là

$\sqrt{\frac{b^4}{4}}+\sqrt{\frac{c^4}{4}}\geq\sqrt{2\frac{b^4+c^4}{4}}$

$\Leftrightarrow a\sqrt{\frac{b^4+c^4}{2}}\leq\frac{ab^2+ac^2}{2}$

Tương tự:

$b\sqrt{\frac{c^4+a^4}{2}}\leq\frac{bc^2+ba^2}{2}$

$c\sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}\leq\frac{ca^2+cb^2}{2}$

Và phần cuối giống như phần cuối của bài bạn đây.

[ordinaryperson]

Bài của bạn bị ngược dấu rồi.

ừ mình nhầm thật:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ordinaryperson: 29-04-2024 - 23:20

[ordinaryperson]

Có vẻ phần đầu của bạn ngược dấu... Phải là

$\sqrt{\frac{b^4}{4}}+\sqrt{\frac{c^4}{4}}\geq\sqrt{2\frac{b^4+c^4}{4}}$

$\Leftrightarrow a\sqrt{\frac{b^4+c^4}{2}}\leq\frac{ab^2+ac^2}{2}$

Tương tự:

$b\sqrt{\frac{c^4+a^4}{2}}\leq\frac{bc^2+ba^2}{2}$

$c\sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}\leq\frac{ca^2+cb^2}{2}$

Và phần cuối giống như phần cuối của bài bạn đây.

cái của bạn cũng ko đúng thì phải

[dinhvu]

Bạn gõ cái vế phải trông sao sao í 

[dinhvu]

 Có $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}+\sqrt{a^2b^2}\leq \sqrt{2(\frac{a^4+b^4}{2}+a^2b^2)}=(a^2+b^2)$
Do đó $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}\leq a^2+b^2-ab$
Chứng minh tương tự ta có $VT\leq \sum (a^2+b^2-ab)c+3abc=VP$

[ordinaryperson]

$abc+a\sqrt{\frac{(b^4+c^4)}{2}} =a(bc+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{2}})$

Ta có

$(bc+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{2}})^2 \leq 2(b^2c^2+\frac{b^4+c^4}{2})=(b^2+c^2)^2$

đến đây suy ra $abc+a\sqrt{\frac{b^4+c^4}{2}}\leq a(b^2+c^2)$

làm tương tự =) đpcm