1 reply to this topic

[tritanngo99]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

[nhungvienkimcuong]

Best Answer

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

$\newcommand{png}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{ple}[1]{\left\{ #1 \right\}}$

Thay $k:=m$ vào điều kiện 2 thu được $n=\png{m\sqrt{2}}$, như vậy

\[\png{\frac{nk}{m}}=\png{\frac{\left(m\sqrt{2}-\ple{m\sqrt{2}}\right)k}{m}}=\png{k\sqrt{2}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}=\png{k\sqrt{2}}+\png{\ple{k\sqrt{2}}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}.\]

Do vậy ta có

\[\png{\ple{k\sqrt{2}}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}=0\implies \frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}\le \ple{k\sqrt{2}}.\]

Điều này dẫn đến với mọi $k\in \{1,2,\dots,2007\}$ thì ta có bất đẳng thức

\[\frac{\ple{m\sqrt{2}}}{m}\le\frac{\ple{k\sqrt{2}}}{k}\iff \frac{\png{m\sqrt{2}}}{m}\ge \frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}.\]

Vậy bước tiếp theo chính là xác định $k\in\{1,\dots,2007\}$ sao cho $\frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}$ đạt GTLN.

Chú ý rằng

\[2-\left(\frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}\right)^2=\frac{2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2}{k^2}.\]

Vì $k\sqrt{2}>\png{k\sqrt{2}}$ nên $2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2\ge 1$. Với mỗi $i\in \{1,2,3,4\}$ đặt tập hợp

\[\mathcal{A}_i:=\Big\{k\in \mathbb{N}^*:2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2=i\Big\}.\]

Dễ thấy các phần tử của $\mathcal{A}_i$ cũng chính là tập hợp nghiệm $v$ của phương trình Pell $u^2-2v^2=-i$, nên từ tập nghiệm của phương trình Pell ta xác định được các tập hợp

\begin{align*}\mathcal{A}_1&=\{1,5,29,169,985,5741,\dots\}\\ \mathcal{A}_2&=\{3,17,99,577,3363,\dots\}\\ \mathcal{A}_3&=\varnothing\\ \mathcal{A}_4&=\{2,10,58,338,1970,11482,\dots\}.\end{align*}

Như vậy 

• Với $k\in \mathcal{A}_1\cap\{1,2,\dots,2007\}=\{1,5,29,169,985\}$ thì \[\frac{2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2}{k^2}=\frac{1}{k^2}\ge\frac{1}{985^2}.\]
• Với $k\in \mathcal{A}_2\cap\{1,2,\dots,2007\}=\{3,17,99,577\}$ thì \[\frac{2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2}{k^2}=\frac{2}{k^2}\ge\frac{2}{577^2}>\frac{1}{985^2}.\]
• Với $k\in \mathcal{A}_4\cap\{1,2,\dots,2007\}=\{2,10,58,338,1970\}$ thì \[\frac{2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2}{k^2}=\frac{4}{k^2}\ge\frac{4}{1970^2}=\frac{1}{985^2}.\]
• Với $k\in\{1,2,\dots,2007\}\setminus\left(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\cup\mathcal{A}_4\right)$ thì \[\frac{2k^2-\png{k\sqrt{2}}^2}{k^2}\ge \frac{5}{k^2}\ge \frac{5}{2007^2}>\frac{1}{985^2}.\]

Như thế ta đã xác định được với $k\in\{985,1970\}$ thì biểu thức $\frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}$ đạt GTLN (được kiểm chứng bằng python).

import math

max = math.floor(985 * math.sqrt(2)) / 985
for i in range(1,2008):
    if math.floor(i * math.sqrt(2)) / i >= max:
        print(i)

Vì $\text{UCLN}(m,n)=1$ nên chỉ có cặp $(m,n)=(985,1393)$ thỏa đề.

 

 

Ghí chú. Một số bài toán khá liên quan xem ở đây và đây.