Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất
Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất
Bắt đầu bởi girltinhnghich, 15-03-2005 - 10:02
psw
#1
Đã gửi 15-03-2005 - 10:02
#2
Đã gửi 03-08-2012 - 23:39
Hạ $EM \perp AB$
$\triangle BME:\text{ vuông tại M}$
$\angle B = 45^o$
$\Rightarrow \triangle BME:\text{ vuông cân}$
$\Rightarrow BM = EM$
Mặt khác, dễ dàng chứng minh $\triangle MED = \triangle ADF (\text{c.h-g.n})$
$\Rightarrow AD= EM =BM$
Đặt $AD=EM=BM = x$
$\Rightarrow MD = AB - BM - AD = 10 - 2x$
$2S_{DEF} = DE^2$ (để 2S đỡ phải frac friếc đau tay )
Vậy ta cần tìm $\text{min } DE^2$
Mặt khác, theo $\text{Pythagore}$ trong $\triangle MED$:
$DE^2 = DM^2 + EM^2$
$=x^2+(10-2x)^2$
$=5x^2-40x+100$
$=5(x^2-8x + 20)$
$=5(x-4)^2 + 20 \geq 20$ Vậy $\text{min } DE^2 = 20$
$\Rightarrow \text{min } S_{DEF} = 10$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = 4$
$\Rightarrow DB = DM + BM = 6$
$\Rightarrow DA = 4$
Kết luận: $S_{DEF} \text{ min } = 10$ khi $D$ cách $B$ một khoảng là 6, cách $A$ một khoảng là 4.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-08-2012 - 23:43
- CD13, perfectstrong, Tham Lang và 17 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 04-08-2012 - 00:56
Cách khác.(hơi THPT tí)
Áp dụng định lí hàm cos trong tam giác CEF, đặt $CE=x, CF=y$ thì $EF^2=x^2+y^2-\sqrt{2}xy$ ( vì góc $C$ bằng $45^0$)
mặt khác $\widehat{CEF}=\widehat{DFA}=\widehat{BDE}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)
Từ đó suy ra tam giác$BDE$ và $CEF$ đồng dạng, cho ta $BE:CF=DE:EF=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Do đó $BC=BE+CE=\frac{y}{\sqrt{2}}+x$
(Dùng pp hệ số bất định ta sẽ chứng minh)
$x^2+y^2-\sqrt{2}xy \geq \frac{1}{5}\left(\frac{y}{\sqrt{2}}+x\right)^2 $
$<=> 9x^2+8y^2-12\sqrt{2}xy \geq 0$
$<=>(3x-2\sqrt{2}y)^ \geq 0$
đúng
vậy suy ra $EF \geq \frac{BC}{\sqrt{5}}$
Do đó ta tìm được $S_{DEF} \geq 10$
đằng thức xảy ra như trên
Áp dụng định lí hàm cos trong tam giác CEF, đặt $CE=x, CF=y$ thì $EF^2=x^2+y^2-\sqrt{2}xy$ ( vì góc $C$ bằng $45^0$)
mặt khác $\widehat{CEF}=\widehat{DFA}=\widehat{BDE}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)
Từ đó suy ra tam giác$BDE$ và $CEF$ đồng dạng, cho ta $BE:CF=DE:EF=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Do đó $BC=BE+CE=\frac{y}{\sqrt{2}}+x$
(Dùng pp hệ số bất định ta sẽ chứng minh)
$x^2+y^2-\sqrt{2}xy \geq \frac{1}{5}\left(\frac{y}{\sqrt{2}}+x\right)^2 $
$<=> 9x^2+8y^2-12\sqrt{2}xy \geq 0$
$<=>(3x-2\sqrt{2}y)^ \geq 0$
đúng
vậy suy ra $EF \geq \frac{BC}{\sqrt{5}}$
Do đó ta tìm được $S_{DEF} \geq 10$
đằng thức xảy ra như trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 04-08-2012 - 00:59
- supermember, NguyThang khtn, CD13 và 12 người khác yêu thích
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995
#4
Đã gửi 04-08-2012 - 19:50
Một số phát hiện :
1. Hạ $ AH \perp BC$ tại H
Hạ $DK \perp EF$ tại K
Chứng minh rằng : $\overline{A,H,K}$.
Thật vậy
Xét tứ giác $ADKF$ có $\hat{A}+\hat{K}=90^o+90^o=180^o$
Nên $ADKE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADK}=\widehat{DFK}=45^o$
Mà $\widehat{DAH}=45^o$
Ta có $\overline{A,H,K}$.
2. Khi $S_{DEF}$ đạt giá trị nhỏ nhất .Tính $KH$.
Ta có :$AH=\dfrac{BC}{2}=5\sqrt{2}$
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác $ADKE$ nội tiếp có:
$AD.KF+DK.AF=DF.AK$
Mà $AD=4;KF=KD=\dfrac{DF}{\sqrt{2}}=\dfrac{EF}{2};AF=\sqrt{DF^2-AD^2}$.
- CD13, perfectstrong, Tham Lang và 8 người khác yêu thích
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#5
Đã gửi 04-08-2012 - 23:46
Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất
Do đó ta có thêm BT1 sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Dựng tam giác BDE vuông cân tại B với E khác phía A đối với BC. CE cắt AB tại F.
a) Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên cạnh AC.
b) Tìm Min của $BF^2+CD^2$
Và thêm BT 2:
Và thêm BT3:
Cho góc xOy vuông. Trên cạnh Ox, Oy lần lượt lấy điểm D, F sao cho OD + 2OF = a ( a cho trước). Trong góc xOy vẽ tam giác DEF vuông cân tại F. Tìm quỹ tích điểm E.
Và thêm 1 bài nữa:
BT4: Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ lớn nhất. @_^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 05-08-2012 - 12:55
- NguyThang khtn, CD13, perfectstrong và 12 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 08-08-2012 - 18:24
Thay anh Thế tổng kết phát để ra đề mới (4 problems đầu tiên không quá căng thẳng để khởi động, problem thứ 5 sẽ là 1 bài olympic)
BlackSelena được 10 điểm
The Gunner, hoangtrunghieu22101997 & binhmetric mỗi người được 5 điểm.
BlackSelena được 10 điểm
The Gunner, hoangtrunghieu22101997 & binhmetric mỗi người được 5 điểm.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$Bắt đầu bởi Thanh Ha, 23-05-2009 psw |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh