Chủ đề này có 89 trả lời

[dark templar]

Bài 1. Cho a,b,c là các số thức dương. Chứng minh rằng $1 < \dfrac{a^2}{a^2+bc} + \dfrac{b^2}{b^2+ca} + \dfrac{c^2}{c^2+ab} < 2$

Sừ dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:
$A= \sum \dfrac{a^2}{a^2+bc}>\sum \dfrac{a^2}{a^2+2bc} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a^2 +2\sum ab}=1(dpcm)$.
Việc còn lại chỉ là chứng minh ;$A \le 2 \Leftrightarrow 1-\dfrac{a^2}{a^2+bc}+1-\dfrac{b^2}{b^2+ac}+1-\dfrac{c^2}{c^2+ab} \ge 3-2=1$
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{c^2+ab} \ge 1$.Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:
$\sum \dfrac{ab}{c^2+ab} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum ab(c^2+ab)}=\dfrac{(\sum ab)^2}{(\sum ab)^2-abc(a+b+c)}>1(dpcm)$

[kuphuoc]

giup minh voi bai nay wa kho lun
cho x,y la hai so thuc bat ki tim gia tri lon nhat cua $\dfrac{x}{1+y^{2}} + \dfrac{y}{1+ x^{2}} $
thank nhiu nhiu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 17-05-2011 - 10:06

[Lê Xuân Trường Giang]

giup minh voi bai nay wa kho lun
cho x,y la hai so thuc bat ki tim gia tri lon nhat cua :frac{x}{1+y^{2}} + :frac{y}{1+ x^{2}}
thank nhiu nhiu

Học gõ lại latex nha bạn
Cho $x,y$ là hai số thực bất kì. Tìm giá trị Lớn Nhất của
$P=\dfrac{x}{1+y^{2}} + \dfrac{y}{1+ x^{2}} $
Nếu bạn học THPT thì bài này dùng hàm số và xét đạo hàm khi quy đ�ồng hết lên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 17-05-2011 - 10:06

[wallunint]

BÀI NÀY THÌ KHồ ĐẤY!
cho a,b,c > 0 thỏa mãn $ min (a,b,c) \geq max (a,b,c)$.CMR:
$ (bc+ac+ab)[\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}] \geq \dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{16}[\sum (\dfrac{a-b}{a+b})^2]$

Đề của bạn sai rồi thì phải Chỗ đó phải là $min(a,b,c) \geqslant \dfrac{1}{4}max(a,b,c)$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$\begin{gathered}\sum {\dfrac{x}{{y + z}}} + \sum {\left[ {\dfrac{{xy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{4}} \right]} - \dfrac{3}{2} \geqslant \dfrac{1}{{16}}\sum {\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} \hfill \\\Leftrightarrow \sum {\dfrac{x}{{y + z}}} + - \dfrac{3}{2} \geqslant \dfrac{5}{{16}}\sum {\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} \hfill \\\Leftrightarrow \sum {\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{2\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}} \geqslant \dfrac{5}{{16}}\sum {\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} \hfill \\\Leftrightarrow \sum {\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {8x + 8y - 10z} \right)} \right]} - \dfrac{{5{{\left( {x - y} \right)}^2}{{\left( {x - z} \right)}^2}{{\left( {y - z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {x + z} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $

Đến đây, ta giả sử $x \geqslant y \geqslant z \Rightarrow z \geqslant \dfrac{1}{4}x$
Và ta có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này


ps: Latex bị sao vậy ??? Mình xem ko được mấy bài trên :??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 06-05-2011 - 14:48

[Lê Xuân Trường Giang]

Đề của bạn sai rồi thì phải Chỗ đó phải là $min(a,b,c) \geqslant \dfrac{1}{4}max(a,b,c)$
ps: Latex bị sao vậy ??? Mình xem ko được mấy bài trên :??

chắc là bạn ấy dùng thẻ tex trong khi cái đó không còn được dùng nữa.
phải gõ latex

[Nguyễn Hoàng Nam]

Một bài nhẹ nhàng thôi nhé
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab} \geq 8$

[Ha Pham Ngoc Khanh]

Một bài nhẹ nhàng thôi nhé
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab} \geq 8$

Ta có:
$1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab}=(ab+\dfrac{1}{ab})+(a^2+b^2+ab+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab})\geq 2+6=8$
(BĐT Cauchy)
Dấu"=" xảy ra a=b=0,5

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Ta có:
$1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab}=(ab+\dfrac{1}{ab})+(a^2+b^2+ab+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab})\geq 2+6=8$
(BĐT Cauchy)
Dấu"=" xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=0,5 $

$ a^2+b^2+ab+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab} \geq 2\sqrt{3}$ ???
Trường hợp dấu " = " xảy ra liệu đã đúng :
Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{array}{l}ab = \dfrac{1}{ab} (1) \\ ( a^2 + b^2 + ab )^2 = 3\end{array}\right. $
Từ (1) $ \Rightarrow ab = 1 $ . Vậy giá trị a = b = 0,5 không thỏa mãn !!

[NguyThang khtn]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn thoả mãn abc=1.CMR:
$\dfrac{a}{2a^2+7}+\dfrac{b}{2b^2+7}+\dfrac{c}{2c^2+7}\leq \dfrac{1}{3}$

[Ha Pham Ngoc Khanh]

$ a^2+b^2+ab+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab} \geq 2\sqrt{3}$ ???
Trường hợp dấu " = " xảy ra liệu đã đúng :
Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{array}{l}ab = \dfrac{1}{ab} (1) \\ ( a^2 + b^2 + ab )^2 = 3\end{array}\right. $
Từ (1) $ \Rightarrow ab = 1 $ . Vậy giá trị a = b = 0,5 không thỏa mãn !!

Cảm ơn bạn đã phát hiện lỗi sai giúp mình. Đây là 1lời giải mới của mình.các bạn kiểm tra xem có đúng ko nhé!
Ta có:$\dfrac{1}{ab}+16ab\geq 8$
$\dfrac{3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{16}{3}(a^2+ab+b^2)\geq8$
Do đó:$\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{3}{a^2+ab+b^2}\geq16-(16ab+\dfrac{16}{3}(a^2+ab+b^2))$
Mà: $16ab+\dfrac{16}{3}(a^2+ab+b^2)=\dfrac{16}{3} (a+b)^2+32ab \leq \dfrac{16}{3}+\dfrac{8}{3}=8$
$\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{3}{a^2+ab+b^2}\geq8$
Dấu "=" xảy ra $a=b= \dfrac{1}{2}$