Chủ đề này có 89 trả lời

[NguyThang khtn]

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn:

$\dfrac{1}{a}$ +$ \dfrac{1}{b}$ - $ \dfrac{1}{c}$=4

Chứng minh:$ \dfrac{1}{2a+b-c}$- $\dfrac{1}{a+2b+c}$ + $\dfrac{1}{a+b+2c} $ 1 Dấu "=" xảy ra khj nào??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 07-05-2011 - 09:41

[NguyThang khtn]

bài nữa cũng khó!
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác S là diện tích tam giác
CM:
$\dfrac{ab\sqrt{ab}}{a+b}+\dfrac{bc\sqrt{bc}}{b+c}+\dfrac{ca\sqrt{ca}}{c+a}\geq 2\sqrt{3}S$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 07-05-2011 - 10:29

[NguyThang khtn]

tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\dfrac{x+8}{\sqrt{x} + 1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-05-2011 - 13:48

[perfectstrong]

bài này sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số (tên mình không nhớ rõ lắm)
Giải:đk:x>=0.
Để gọn, đặt biểu thức đã cho là P; $y = \sqrt x \Rightarrow P = \dfrac{{y^2 + 8}}{{y + 1}} > 0$
Suy ra, $yP + P = y^2 + 8 \Leftrightarrow y^2 - yP + 8 - P = 0$: pt bậc 2 ẩn y.
Vì tồn tại y nên
$\vartriangle \geqslant 0 \Leftrightarrow P^2 - 4(8 - P) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left| {P + 2} \right| \geqslant 6$
Chú ý P>0 nên
$P + 2 \geqslant 6 \Leftrightarrow P \geqslant 4 \Leftrightarrow P_{\min } = 4 \Leftrightarrow \vartriangle = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Leftrightarrow x = 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-01-2011 - 22:00

[wallunint]

phương pháp của perfectstrong là phương pháp miền giá trị, có thể dùng để giải hầu hết các bài cực trị loại này. Nhưng không nên lạm dụng vì có những cách hay và ngắn hơn.
bài này giải thế này cũng đc. ta có :
$\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$ - 1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$+1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ - 2 = t + $\dfrac{9}{t}$ - 2
theo BĐT Cô-si, ta có t + $\dfrac{9}{t}$ - 2 2.$\sqrt{ t . \dfrac{9}{t} }$ - 2 =4
vậy Amin = 4, đẳng thức xảy ra khi x = 4







Không có điều gì đúng mà không thể chứng minh.

ps: cái máy nhà mình thế nào ấy. nó ko đọc đc công thức gõ bằng tex. Hay do tex bị hư nhỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 13-01-2011 - 07:48

[hiep ga]

phương pháp của perfectstrong là phương pháp miền giá trị, có thể dùng để giải hầu hết các bài cực trị loại này. Nhưng không nên lạm dụng vì có những cách hay và ngắn hơn.
bài này giải thế này cũng đc. ta có :
$\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$ - 1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$+1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ - 2 = t + $\dfrac{9}{t}$ - 2
theo BĐT Cô-si, ta có t + $\dfrac{9}{t}$ - 2 2.$\sqrt{ t . \dfrac{9}{t} }$ - 2 =4
vậy Amin = 4, đẳng thức xảy ra khi x = 4
Không có điều gì đúng mà không thể chứng minh.

ps: cái máy nhà mình thế nào ấy. nó ko đọc đc công thức gõ bằng tex. Hay do tex bị hư nhỉ.

Bị hư rồi gõ latex đi bạn

[NguyThang khtn]

xy + yz + zx = 1
Tìm min , max của
$A = \dfrac{x}{1 - y^2} + \dfrac{y}{1 - z^2} + \dfrac{z}{1 - x^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 07-05-2011 - 10:29

[NguyThang khtn]

tiếp tục!
2,cho 3 số dương a,b,c. CMR:

$\dfrac{1}{\ a^2+bc} + \dfrac{1}{\ b^2+ac} + \dfrac{1}{\ c^2+ab} \leq \dfrac{a+b+c}{2abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 07-05-2011 - 10:30

[perfectstrong]

tiếp tục!
2,cho 3 số dương a,b,c. CMR:

$\dfrac{1}{{\;a^2 + bc}} + \dfrac{1}{{\;b^2 + ac}} + \dfrac{1}{{\;c^2 + ab}} \leqslant {\text{ }}\dfrac{{a + b + c}}{{2abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-01-2011 - 11:57

[NguyThang khtn]

cho 0< x ; y ;z <1 t/m
xy + yz + zx = 1
Tìm min của
$A = \dfrac{x}{1 - y^2} + \dfrac{y}{1 - z^2} + \dfrac{z}{1 - x^2}$

[NguyThang khtn]

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$
Bài 1: Cho các số thực a,b,c thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max của biểu thức:
P= $a^3+b^3+c^3 - 3abc$
Bìa 2: Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. CMR:
$5(a^2+b^2+c^2)\leq6(a^3+b^3+c^3)+1$

[dark templar]

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$
Bài 1: Cho các số thực a,b,c thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max của biểu thức:
P= $a^3+b^3+c^3 - 3abc$
Bìa 2: Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. CMR:
$5(a^2+b^2+c^2)\leq6(a^3+b^3+c^3)+1$

Bài 1 :
Đặt $t = ab + bc + ca\left( {\dfrac{{ - 1}}{2} \le t \le 1} \right) $
$A^2 = \left( {x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz} \right)^2 = \left( {x + y + z} \right)^2 \left( {x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx} \right)^2 $
$= \left( {1 + 2t} \right)\left( {1 - t} \right)^2 $
$f\left( t \right) = \left( {1 + 2t} \right)\left( {1 - t} \right)^2 \left( {\dfrac{{ - 1}}{2} \le t \le 1} \right) $
$f'\left( t \right) = 2\left( {1 - t} \right)^2 - 2\left( {1 - t} \right)\left( {1 + 2t} \right) = - 6t\left( {1 - t} \right) $
$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \\ t = 1 \\ \end{array} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ,ta có :
$0 \le f\left( t \right) \le 1 \Rightarrow A \le 1 $
$A_{\max } = 1 \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right);\left( {0;1;0} \right);\left( {1;0;0} \right) $

Bài 2
Đặt $p=a+b+c=1;q=ab+bc+ca;r=abc \Rightarrow q \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right];r \in \left( {0;\dfrac{1}{{27}}} \right]$
BĐT trở thành :
$5\left( {1 - 2q} \right) \le 6\left( {1 - 3q + 3r} \right) + 1 \Leftrightarrow 1 + 9r - 4q \ge 0 $
$r \ge \dfrac{{4q - 1}}{9} \Rightarrow VT \ge 1 + 4q - 1 - 4q = 0\left( {{\rm{dpcm - Schur}}} \right) $

[wallunint]

Dễ thì cm anh coi đi. Không thấy bđt này là $ x^2+y^2+z^2 \le xy+yz+zx $ ak`!
Bài này ko dễ thế đâu.
Ta có:
$ \sum \dfrac{1}{a^2+bc}= \sum \dfrac{b(b+c)}{(a^2+bc)(b^2+bc)} \le \sum \dfrac{b+c}{b(a+c)^2} \le \sum \dfrac{b+c}{4abc} $
P/s: anh thấy bài đầu toppic cho $ a=b=c=\dfrac{1}{4} $ thì sai còn gì!!

Anh Cường giải thế này THCS tắt thở đó.
$\dfrac{1}{{a^2 + bc}} \le \dfrac{1}{{2a\sqrt {bc} }} = \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{2abc}}$
làm tương tự rồi cộng các BĐT tương tự và lưu ý bđt $a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $
ta có:
$VT \le \dfrac{1}{{2a\sqrt {bc} }} + \dfrac{1}{{2b\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{2c\sqrt {ab} }} = \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{2abc}} + \dfrac{{\sqrt {ac} }}{{2abc}} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{2abc}} \le VP$


ps: Thầy Việt nói là nhớ mấy học trò quậy như anh Long và anh Cường lắm đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-01-2011 - 11:43

[wallunint]

Bài 2
Đặt $p=a+b+c=1;q=ab+bc+ca;r=abc \Rightarrow q \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right];r \in \left( {0;\dfrac{1}{{27}}} \right]$
BĐT trở thành :
$5\left( {1 - 2q} \right) \le 6\left( {1 - 3q + 3r} \right) + 1 \Leftrightarrow 1 + 9r - 4q \ge 0 $
$r \ge \dfrac{{4q - 1}}{9} \Rightarrow VT \ge 1 + 4q - 1 - 4q = 0\left( {{\rm{dpcm - Schur}}} \right) $

bài 2 này giải theo THCS cũng đc
từ BĐT $abc \ge (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow abc \ge (1 - 2c)(1 - 2b)(1 - 2a) \\ \Leftrightarrow 9abc + 1 \ge 4(ab + bc + ac) \\ \Leftrightarrow 18abc + 2 \ge 8(ab + bc + ca) \\ \Leftrightarrow 18abc + 1 - 2(ab + bc + ca) + 1 \ge 6(ab + bc + ca) \\ \Leftrightarrow 18abc + (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) + 1 \ge 6(ab + bc + ca) \\ \Leftrightarrow 18abc + a^2 + b^2 + c^2 + 1 \ge 6(ab + bc + ca) \\ \Leftrightarrow 5(a^2 + b^2 + c^2 ) \le 18abc + 6(a^2 + b^2 + c^2 ) + 1 - 6(ab + bc + ca) \\ \end{array}$
Mà $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$(do a+b+c=1)
Suy ra, đpcm.

[dark templar]

bài 2 này giải theo THCS cũng đc
từ BĐT $abc \ge (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)(1)$

Cách của em cũng là cách của anh thôi ,ko khác đâu!
BĐT (1) mà em sử dụng chính là BĐT Schur bậc 3 đó !

[wallunint]

Đúng là như vậy. Về "TINH THẦN" thì giống nhau nhưng "CÁCH BIẾN ĐỔI" thì khác.
Với lại giải như vậy thì mấy bạn ThCS dễ "NHAI" hơn đó anh.
Anh có tài liệu gì về loại đặt như anh thì post lên cho em xem với.

[dark templar]

Đúng là như vậy. Về "TINH THẦN" thì giống nhau nhưng "CÁCH BIẾN ĐỔI" thì khác.
Với lại giải như vậy thì mấy bạn ThCS dễ "NHAI" hơn đó anh.
Anh có tài liệu gì về loại đặt như anh thì post lên cho em xem với.

Thể theo yêu cầu :
 index_1_.php   527.62K   70 Số lần tải

[perfectstrong]

tệp này sao đọc anh?

[wallunint]

dùng pdf đi bạn
mà hình như cái này bạn có rồi đó!!!!!!!

[Peter Pan]

 B___t______ng_th___c_Schur_v___k___thu___t______i_bi___n_theo_c__c___a_th___c_Viet.pdf   227.74K   123 Số lần tải  pqr_schur_vothanhvan.pdf   527.62K   108 Số lần tải@dark templar : file của anh , em đọc không được, em post cái file này lên vậy, không biết giống anh không