Chủ đề này có 89 trả lời

[NguyThang khtn]

BÀI NỮA:
Trong đó a,b,c là 3 sô dương thỏa mãn

$ab+bc+ca\leq3abc$

cmr:

$\dfrac{a^4b}{2a+b}+\dfrac{b^4c}{2b+c}+\dfrac{c^4a}{2c+a}\geq1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 31-01-2011 - 13:35

[dark templar]

BÀI NỮA:
Trong đó a,b,c là 3 sô dương thỏa mãn

$ab+bc+ca\leq3abc$

cmr:

$\dfrac{a^4b}{2a+b}+\dfrac{b^4c}{2b+c}+\dfrac{c^4a}{2c+a}\geq1$

Chém bằng C-S+AM-GM thôi!
Sử dụng BĐT AM-GM cho giả thuyết,ta có $abc \geq 1$
Viết lại giả thuyết dưới dạng sau:$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le 3$
Ta có :
$VT = \dfrac{{a^3 }}{{\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b}}} + \dfrac{{b^3 }}{{\dfrac{2}{b} + \dfrac{1}{c}}} + \dfrac{{c^3 }}{{\dfrac{2}{c} + \dfrac{1}{a}}} \ge \dfrac{{\left( {a\sqrt a + b\sqrt b + c\sqrt c } \right)^2 }}{{3\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)}}$
$\ge \dfrac{{\left( {3\sqrt[3]{{abc\sqrt {abc} }}} \right)^2 }}{{3.3}} \ge 1\left( {Cauchy - Schwarz + AM - GM} \right) $
$\Rightarrow Q.E.D $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[NguyThang khtn]

cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn:

$a^{1997}$ + $b^{1997}$ + $c^{1997}$ = 3

Tìm GTLN của biểu thức

A = $a^2$ + $b^2$ + $c^2$

[dark templar]

cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn:

$a^{1997}$ + $b^{1997}$ + $c^{1997}$ = 3

Tìm GTLN của biểu thức

A = $a^2$ + $b^2$ + $c^2$

Áp dụng BĐT Holder,ta có:
$3^2 = \left( {a^{1997} + b^{1997} + c^{1997} } \right)^2 \ge \dfrac{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^{1997} }}{{3^{1995} }} $
$\Rightarrow A = a^2 + b^2 + c^2 \le 3 $
$A_{\max } = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1 $

[3T-29]

Bất đẳng thức Côsi
$a^{1997}+a^{1997}+1995=a^{1997}+a^{1997}+1+...+1$$1997\sqrt{a^{1997}.a^{1997}.1...1}$$= 1997a^2$
Tương tự:
$2.b^{1997}+1995\geq1997b^2$
$2.c^{1997}+1995\geq1997c^2$
Cộng 3 bđt cùng chiều trên được: $3.1995+2(a^{1997}+b^{1995}+c^{1995})\geq1997(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra: $a^2+b^2+c^2\leq3$
Max A=3 <=> a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 3T-29: 01-02-2011 - 21:06

[dark templar]

Bất đẳng thức Côsi
$a^{1997}+a^{1997}+1995=a^{1997}+a^{1997}+1+...+1$$1997\sqrt{a^1997.a^1997.1...1}$$= 1997a^2$
Tương tự:
$2.b^{1997}+1995\geq1997b^2$
$2.c^{1997}+1995\geq1997c^2$
Cộng 3 bđt cùng chiều trên được: $3.1995+2(a^{1997}+b^{1995}+c^{1995})\geq1997(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra: $a^2+b^2+c^2\geq3$
Min A=3 <=> a=b=c=1

$a^2+b^2+c^2 \leq 3$ chứ sao lại $ \geq $ ???? Phải là Max chứ nhỉ ?

[3T-29]

Ý chết, em đánh nhầm rùi. Sorry

[dark templar]

cuói cùng cũng làm được!
$\sqrt[]{x_1}+\sqrt[]{x_2}+\sqrt[]{x_3}+...+\sqrt[]{x_2007} \geq \sqrt[]{x_1+x_2+x_3+...+x_2007}(1)$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{x_1+x_2+x_3+...+x_2007} \leq 2007$

$\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_2007 \leq 2007^2$

$x_1+x_2 \geq 2\sqrt[]{x_1x_2}$

........

$x_2006+x_2007 \geq 2\sqrt[]{x_2006x_2007}$

$2(\sqrt[]{x_1x_2}+\sqrt[]{x_3+x_4}+...+\sqrt[]{x_2006x_2007})\leq2007^2$

$\sqrt[]{x_1+x_2}+\sqrt[]{x_3+x_4}+...+\sqrt[]{x_2006x_2007}\leq \dfrac{2007^2}{2}$

Làm sai rồi bboy14crew Dấu "=" ko thể xảy ra đâu .BĐT (1) mà em sử dụng phải có tối đa 2006 số bằng 0 ,mà ở dưới em sử dụng AM-GM cho từng cặp,vậy suy ra rằng tất cả các số đó cùng bằng 0 hả ?????
P/s:Bạn làm sai mà mấy em kia cũng thanks dữ ta

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-02-2011 - 22:38

[NguyThang khtn]

$ a,b,c >0.Prove \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

[Ljzk]

:sqrt{1} + :sqrt{2} + :sqrt{3} +.....+ :sqrt{n} < :frac{2011 n^{2} }{4 :sqrt{2011} }

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$ \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} +.....+ \sqrt{n} < \dfrac{2011 n^{2} }{4 \sqrt{2011} }$

[NguyThang khtn]

Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác .CMR:

$9(a^2+b^2+c^2)(ab+cb+ac) \geq (a+b+c)^4$

[NguyThang khtn]

$ a,b,c >0.Prove \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

$Holder:(\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b})^2(\sum_{cyc}a^2b^2)^2\geq (\sum_{cyc}\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b}.\dfrac{a^2}{b}.a^2b^2})^3=(a^2+b^2+c^2)^3$

$\Rightarrow (\sum\dfrac{a^2}{b})^2\geq \dfrac{(\sum a^2)^3}{\sum a^2b^2}$

$To prove :\dfrac{(\sum a^2)^3}{\sum a^2b^2}\geq (3\sqrt[4]{\dfrac{\sum a^4}{3}})^2$

$\Leftrightarrow (\sum a^2)^3\geq \sqrt{27(\sum a^4)}(\sum a^2b^2)$

$Substitution:x=a^2; y=b^2;z=c^2, we have $

$(x+y+z)^3\geq 3(xy+yz+zx)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\geq \dfrac{3\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}-3\geq \dfrac{3[\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(x+y+z)]}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow\dfrac{2(x^2+y^2+x^2)-2(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+zx)}\geq \dfrac{3(3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sum(x-y)^2}{2(\sum xy)}\geq \dfrac{3[\sum(x-y)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Leftrightarrow 6(\sum xy)\leq (\sum x)(\sum x+\sqrt{3(\sum x^2)}$(1)

dế dàng chứng minh dc (1) đúng

p\s: đây ko phải mình làm đâu!

[NguyThang khtn]

giúp mình mấy bài!
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= $a^3+b^3$

biết $a+b=a^2+b^2-ab$



Bài 2: Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn:

$x^3+y^3 = xy + \dfrac{1}{27}$

[tuan101293]

Trong đề thi HSG Trung Quốc
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh
$\dfrac{cos^2 A}{cos A +1}$ + $\dfrac{cos^2 B}{cos B +1}$ + $\dfrac{cos^2 C}{cos C +1}$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}$

http://www.artofprob...v...=59649&ml=1

[dark templar]

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= $a^3+b^3$

biết $a+b=a^2+b^2-ab$



Bài 2: Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn:

$x^3+y^3 = xy + \dfrac{1}{27}$

Bài 1:Dễ dàng chứng minh đc $a+b>0$.Biến đổi,ta có $A=(a+b)^2=a^3+b^3 \geq \dfrac{(a+b)^3}{4} \Rightarrow a+b \leq 4 \Rightarrow A \leq 16$
$A_{\max}=16 \Leftrightarrow a=b=2$
Bài này thực chất chỉ là đề thi ĐH khối B sau khi đặt $x=\dfrac{1}{a};y=\dfrac{1}{b}$ thôi
Còn bài 2 nếu là số thực thì thiếu gì số thỏa mãn gt trên Bài này phải cho số nguyên dương chứ nhỉ ?????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-05-2011 - 10:01

[NguyThang khtn]

bài này ko khó nè!
$Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :$

$\sum \dfrac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2$

[NguyThang khtn]

) Cho 3 số dương x.y.z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$ A = x (\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{yz} ) $ + $ y(\dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{xz} )$ + $ z(\dfrac{z}{2} + \dfrac{1}{xy} )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 17-02-2011 - 12:48

[wallunint]

) Cho 3 số dương x.y.z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$ A = x (\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{yz} ) $ + $ y(\dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{xz} )$ + $ z(\dfrac{z}{2} + \dfrac{1}{xy} )$

Bài này tớ giải ở đây rồi ( ( chả biết thi thành phố thế nào đây ( (
http://diendantoanho...rt=#entry252337

[tuan101293]

bài này ko khó nè!
$Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :$

$\sum \dfrac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2$

Ta có
$VT=\sum_{cyc} \dfrac{a^4}{a^2b}\ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum_{cyc} a^2b} $
tức là ta sẽ CM
$\sum a^2\ge 3\sum_{cyc} a^2b$
mà $\sum a^2=(\sum a^2)(\sum a)$
nên ta cần cm
$\sum a^3+\sum_{cyc} ab^2\ge 2\sum_{cyc} a^2b$
đúng vì $a^3+ab^2\ge 2a^2b$ ,....
ĐPCM
(ký hiệu $\sum_{cyc} a^2b=a^2b+b^2c+c^2a$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 17-02-2011 - 15:28