Chủ đề này có 5 trả lời

[blackhole]

1) Cho x, y, z không âm và tổng của chúng là 3 chứng minh
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz \ge 4\]
2) Cho a, b, c thỏa abc =1 chứng minh
$$\dfrac{a}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{b}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{c}{{{c^2} + 2}} \leqslant 1$$
3) cho x,y,z dương thỏa xyz = 1 chứng minh
$$\dfrac{{{y^3}{z^3}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^3}{x^3}}}{{z + x}} + \dfrac{{{x^3}{y^3}}}{{x + y}}$$

[tuithichtoan]

Câu 1:
Áp dụng bdt quen thuộc có: $xyz\geq (3-2x)(3-2y)(3-2z)$
$=27-18(x+y+z)+12(xy+yz+zx)-8xyz$
$\Rightarrow 9xyz\geq -27+12(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow xy+yz+xz\leq \dfrac{9xyz+27}{12}$
Có $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz$
$=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)+xyz$
$\geq 9-\dfrac{9xyz+27}{6}+xyz$
$=\dfrac{9}{2}-\dfrac{xyz}{2}\geq 4$( Vì$ xyz\leq 1$)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
p/s: bạn ơi, đề câu 3 là gì vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 10-10-2011 - 17:53

[HÀ QUỐC ĐẠT]

1) Cho x, y, z không âm và tổng của chúng là 3 chứng minh
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz \ge 4\]
2) Cho a, b, c thỏa abc =1 chứng minh
$$\dfrac{a}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{b}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{c}{{{c^2} + 2}} \leqslant 1$$
3) cho x,y,z dương thỏa xyz = 1 chứng minh
$$\dfrac{{{y^3}{z^3}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^3}{x^3}}}{{z + x}} + \dfrac{{{x^3}{y^3}}}{{x + y}}$$

Bài 2:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\dfrac{a}{2a+1}+\dfrac{b}{2b+1}+\dfrac{c}{2c+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\geq 1(1)$
Đặt $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}(x,y,z>0)$
Theo Cauchy-Schwarz ta có:
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}=\dfrac{y^{2}}{2xy+y^{2}}+\dfrac{z^{2}}{2yz+z^{2}}+\dfrac{x^{2}}{2zx+x^{2}}\geq \dfrac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 10-10-2011 - 18:15

[Crystal]

1) Cho x, y, z không âm và tổng của chúng là 3 chứng minh
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz \ge 4\]

Bài này có thể dùng phương pháp Look at the end point. Bạn xem bài 23 ở đây.
Link: http://diendantoanho...pic=62865&st=30

[Didier]

Bài này có thể dùng phương pháp Look at the end point. Bạn xem bài 23 ở đây.
Link: http://diendantoanho...pic=62865&st=30

1) Cho x, y, z không âm và tổng của chúng là 3 chứng minh
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz \ge 4\]
2) Cho a, b, c thỏa abc =1 chứng minh
$$\dfrac{a}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{b}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{c}{{{c^2} + 2}} \leqslant 1$$
3) cho x,y,z dương thỏa xyz = 1 chứng minh
$$\dfrac{{{y^3}{z^3}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^3}{x^3}}}{{z + x}} + \dfrac{{{x^3}{y^3}}}{{x + y}}$$

ta có đặt $ a+b+c=p$,$ ab+bc+ca=q$,$abc=r$
ta có $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=p^{2}-2q+r$
theo schur ta có $ r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$
vậy$ p^{2}-2q+r\geq 9-2q+\dfrac{4q-9}{3}=\dfrac{-2q+18}{3}$
lại có$ q\leq \dfrac{p^{2}}{3}=3$
$ \Rightarrow \dfrac{-2q+18}{3}\geq 4$
vậy$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
dấu bằn đạt khi $ a=b=c=1$

[Didier]

1) Cho x, y, z không âm và tổng của chúng là 3 chứng minh
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz \ge 4\]
2) Cho a, b, c thỏa abc =1 chứng minh
$$\dfrac{a}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{b}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{c}{{{c^2} + 2}} \leqslant 1$$
3) cho x,y,z dương thỏa xyz = 1 chứng minh
$$\dfrac{{{y^3}{z^3}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^3}{x^3}}}{{z + x}} + \dfrac{{{x^3}{y^3}}}{{x + y}}$$

$ \dfrac{y^{3}z^{3}}{y+z}+\dfrac{z^{3}x^{3}}{x+z}+\dfrac{x^{3}y^{3}}{x+y}=\dfrac{1}{x^{3}(y+z)}+\dfrac{1}{y^{3}(x+z)}+\dfrac{1}{z^{3}(y+x)}$
đặt $ a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}(abc=1)$
ta có
$ \dfrac{1}{x^{3}(y+z)}+\dfrac{1}{y^{3}(x+z)}+\dfrac{1}{z^{3}(y+x)}=\dfrac{a^{3}}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{b^{3}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^{3}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}\geq \dfrac{3}{2}$
dấu bằng khi$ x=y=z=1$