Bài 39:Cho hàm $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $\int_0^1 xf(x)dx=0$.Chứng minh rằng tồn tại $a\in[0;1]$ sao cho $$f(a)=a\displaystyle \int_a^1 f(x)dx$$
Bài 40:(DHSP HCM 2011)::Cho hàm $f$ khả vi liên tục trên $[a;b]$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\leq \dfrac{1}{2}\left[|f\left(a\right)+f\left(b\right)|+\int_a^b |f'\left(x\right)|dx\right]$$
Bài 41:Cho $f$ là hàm khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $\int_0^1 f(x)dx=0$.Chứng minh rằng $$\left|\displaystyle\int_0^1 xf(x)dx\right|\leq\dfrac{1}{12}\displaystyle\max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$$
Bài 39. Không tiện post lời giải…
Mai lại đi Hải phòng làm nửa tháng không có thời gian chém cùng các bạn nên làm chút cho vui trước khi lên đường cái nhỉ?
Bài 40. Ta có $f(x) = f(a) + \int\limits_a^x {f'(t)dt} $ và $f(x) = f(b) + \int\limits_b^x {f'(t)dt} $.
Suy ra
\[f(x) = \frac{1}{2}\left[ {f(a) + f(b) + \int\limits_a^x {f'(t)dt} + \int\limits_b^x {f'(t)dt} } \right]\]
\[ \le \frac{1}{2}\left[ {\left| {f(a) + f(b)} \right| + \int\limits_a^x {\left| {f'(t)} \right|dt} + \int\limits_x^b {\left| {f'(t)} \right|dt} } \right] = \frac{1}{2}\left[ {\left| {f(a) + f(b)} \right| + \int\limits_a^b {\left| {f'(t)} \right|dt} } \right]\].
Bài toán được chứng minh.
Một số bài toán tương tự:
1. Giả sử $f$là hàm khả vi liên tục trên $\left[ {0,1} \right]$. Chứng minh rằng
$$\mathop {\sup }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} \left| {f(x)} \right| \le \int\limits_0^1 {\left( {\left| {f(t)} \right| + \left| {f'(t)} \right|} \right)dt} $$
Và
$$\left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| \le \int\limits_0^1 {\left( {\left| {f(t)} \right| + \frac{1}{2}\left| {f'(t)} \right|} \right)dt} $$
2. Bài 27 của phudinhgioihan trong cùng Topic này
Bài 41 của thầy Dương Việt Thông trên tạp chí AMM, cách giải ngắn gọn như sau
Do $\int\limits_0^1 {f(x)dx} = 0$ nên dễ có $\int\limits_0^1 {xf(x)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)\left( {f(x) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)} dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}f'({c_x})dx} $ với ${c_x}$ nằm giữa $x$ và $\frac{1}{2}$ từ đây dễ suy ra kết quả bài toán.
Với lời giải này có rất nhiều mở rộng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangnamneu: 25-02-2013 - 01:21