Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]
#41
Đã gửi 30-01-2013 - 22:42
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#42
Đã gửi 31-01-2013 - 17:49
Bài 20:
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $
Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$
Bất đẳng thức trên mang tên gọi Steffensen
Do $g([a;b]) \subset [0;1] $ nên $c=\int_a^b g(x) dx \in [0;b-a]$
Chứng minh bdt bên trái:
Ta có: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx$$
$$\Leftrightarrow \int_a^b f(x)dx-\int_a^{b-c} f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx $$
$$\Leftrightarrow \int_a^b f(x) (1-g(x))dx \le \int_a^{b-c} f(x)dx $$
Để ý rằng: $b-c=b-\int_a^b g(x)dx=a+\int_a^b dx-\int_a^b g(x)dx=a+\int_a^b (1-g(x))dx$
Vây bdt bên trái có dạng giống bdt bên phải, do đó ta chỉ cần chứng minh:
$$\int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$
Ta có: $$\int_a^{a+c} f(x)dx - \int_a^b f(x)g(x)dx $$
$$=\int_a^{a+c} f(x) (1-g(x))dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$
$$\ge f(a+c) \int_a^{a+c} (1-g(x))dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$
$$=f(a+c) \left(c-\int_a^{a+c} g(x)dx \right) -\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$
$$=f(a+c) \left( \int_a^b g(x)dx -\int_a^{a+c} g(x)dx\right) -\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx$$
$$=f(a+c)\int_{a+c}^bg(x)dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx$$
$$=\int_{a+c}^b g(x) \left(f(a+c)-f(x)\right)dx$$
$$\ge 0$$
Do $f(x) \le f(a+c) \;\;, \forall x \in [a+c;b] $
Vậy cả 2 bdt được cm.
- duong vi tuan yêu thích
#43
Đã gửi 01-02-2013 - 20:52
Bài 9:
Cho $f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f$ liên tục trên $[0;1]$ . Chứng minh
$$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}=\frac{\pi}{2}f(0) $$
Theo yêu cầu của albrise.
Lâu quá không nhớ trong sách nó giải thế nào nữa, đành tự làm cách cùi bắp vậy.
Do $f$ liên tục trên $[0;1]$ do đó liên tục đều trên $[0;1]$, suy ra, với mỗi $\epsilon >0$ đủ nhỏ, tồn tại $\delta>0$ đủ nhỏ sao cho
$$ \forall x \in [0; \delta] ,\; |f(x)-f(0)| < \epsilon$$
Với $ x \in [\delta;1] $, đặt $M=\sup_{x \in [\delta;1]} |f(x)|$
$$ \left| \int_{\delta}^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} \right| \le \int_{\delta}^1 \left|\dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}\right|$$
$$\le M \int_{\delta}^1 \dfrac{ndx}{1+n^2x^2}=M (\arctan n -\arctan n\delta)$$
$$=M \arctan \dfrac{n(1-\delta)}{1+n^2\delta} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$$
Với $x \in [0;\delta]$
$$\left| \int_0^{\delta} \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} -\dfrac{\pi}{2}f(0) \right| $$
$$\le \int_0^{\delta} \dfrac{n\left|f(x)-f(0) \right|dx}{1+n^2x^2} +\left|\int_0^{\delta} \dfrac{nf(0)dx}{1+n^2x^2}-\dfrac{\pi}{2}f(0) \right|$$
$$\le \epsilon \arctan n\delta +\left| f(0)\arctan n\delta-\dfrac{\pi}{2} f(0) \right| $$
$$\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \dfrac{\pi}{2} \epsilon$$
Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \left| \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} - \dfrac{\pi}{2} f(0) \right|$$
$$ \le \lim_{n \to +\infty} \left(\left| \int_0^{\delta}\dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}-\dfrac{\pi}{2} f(0) \right|+\left|\int_{\delta}^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} \right| \right) \le \dfrac{\pi}{2} \epsilon $$
Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \left| \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} - \dfrac{\pi}{2} f(0) \right| =0$$
hay $$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} =\dfrac{\pi}{2} f(0) $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-02-2013 - 20:57
- viet 1846 yêu thích
#44
Đã gửi 02-02-2013 - 13:16
Bài 28:Cho $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đặt $$f_1(x)=\int_0^xf(t)dt,...,f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)dt.$$ Chứng minh rằng $$f_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^nf(t)dt,n\ge 1$$
Với chú ý:
$$ f_{n+1}(x)=\int_0^x \int_0^t f_n(u)du dt =\int_0^x \int_0^t f_n(u)du d(t-x)$$
$$=(t-x) \int_0^t f_n(u)du |_0^x -\int_0^x (t-x) f_n(t)dt =\int_0^x (x-t)f_n(t)dt $$
$$=\int_0^x (x-t) \int_0^t f_{n-1}(u)du dt =-\dfrac{1}{2} \int_0^x \int_0^t f_{n-1}(u)du d((x-t)^2)$$
$$=-\dfrac{1}{2} (x-t)^2 \int_0^t f_{n-1}(u)du |_0^x +\dfrac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2f_{n-1}(t)dt$$
$$=\dfrac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2f_{n-1}(t)dt $$
Tương tự, sử dụng liên tiếp tích phân từng phần ta được
$$f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f(t)dt$$
#45
Đã gửi 02-02-2013 - 15:07
Bài 29:
Cho $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ (với $[a;b] \subset \mathbb{R}$) không là hàm tuyến tính và có đạo hàm cấp hai trên $(a;b)$. Chứng minh $f(x)=0$ vô nghiệm trên $(a;b)$ nếu tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho
$$ f'^2( c ) -2f ( c)f''(x) <0 \;\;, \forall x \in (a;b)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-03-2013 - 01:51
#46
Đã gửi 04-02-2013 - 15:48
Về lời giải bài 9, cách tách cận tích phân và sử dụng đánh giá như của bạn thì có thể áp dụng cho nhiều bài có dạng tương tự.
.
#47
Đã gửi 04-02-2013 - 21:47
Cho $a \in \mathbb{R}_+$, hàm $f:[0;a] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $f(0)=0$ chứng minh
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$
Nếu giả thiết $f(0)=f(a)$, chứng minh
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{4} \int_0^a f'^2(x)dx$$
#48
Đã gửi 04-02-2013 - 23:16
Bài 30:
Cho $a \in \mathbb{R}_+$, hàm $f:[0;a] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $f(0)=0$ chứng minh
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$
Nếu giả thiết $f(0)=f(a)$, chứng minh
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{4} \int_0^a f'^2(x)dx$$
Quen nhề :-"
Ta có:
$$\int_0^a |f'(x)f(x)|dx =\int_0^a |f'(x)| \left| \int_0^x f'(t)dt \right| dx $$
$$ \le \int_0^a |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$
$$\le \int_0^a |f'(x)| \sqrt{\int_0^x dt \int_0^x f'^2(t)dt } dx $$
$$ \le \int_0^a \sqrt{x} |f'(x)| \sqrt{\int_0^x f'^2(t)dt}dx $$
$$\le \sqrt{\int_0^a xdx \int_0^a f'^2(x) \int_0^x f'^2(t)dt dx}$$
$$\le \sqrt{\frac{a^2}{4} \left[\left(\int_0^x f'^2(t)dt \right)^2 \right]' dx}$$
$$\le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$
Câu dưới tương tự
- viet 1846 yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#49
Đã gửi 05-02-2013 - 07:17
Quen nhề :-"
Câu dưới tương tự
Hai bdt này đã có từ tận 1930!
Mục đích đưa ra là để cải tiến chứng minh đơn giản tí, lời giải cũ khủng quá @@
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \int_0^a |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$
$$ \le \int_0^a \int_0^x |f'(t)|dt d\left(\int_0^x |f'(t)|dt \right)$$
$$\le \frac{1}{2} \left(\int_0^a |f'(x)|dx \right)^2 \le \frac{1}{2} \int_0^a dx \int_0^a f'^2(x)dx$$
$$\le \frac{1}{2} \int_0^a f'^2(x)dx $$
Bất đẳng thức thứ hai:
Ta có: $$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx=\int_0^{\frac{a}{2}} |f(x)f'(x)|dx+\int_{\frac{a}{2}}^a |f(x)f'(x)|dx$$
** $\int_0^{\frac{a}{2}} |f(x)f'(x)|dx \le \frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}}f'^2(x)dx $
** Đặt $g(a-x)=f(x)$ , dễ thấy $g$ có các tính chất của $f$, do đó
$$\int_0^{\frac{a}{2}} |g(x)g'(x)|dx \le\frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}} g'^2(x)dx $$
$$\Leftrightarrow \int_0^{\frac{a}{2}} |f(a-x)f'(a-x)|dx \le \frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}} f'^2(a-x)dx $$
$$\Leftrightarrow \int_{\frac{a}{2}}^a |f(x)f'(x)|dx \le \frac{a}{4} \int_{\frac{a}{2}}^a f'^2(x)dx $$
Cộng hai bdt lại ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-02-2013 - 07:19
- viet 1846 yêu thích
#50
Đã gửi 05-02-2013 - 19:59
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0\;, f''(x) \ge 0 \;\forall x \in [a;b]$
Chứng minh tồn tại $c \in [a;b] $ sao cho $\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \int_a^b f(x)dx \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-02-2013 - 18:56
#51
Đã gửi 05-02-2013 - 20:05
Cho $f:[0;2] \to [0;\dfrac{1}{2} ]$ đơn điệu tăng và có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f'(0).f'(1)=1$. Chứng minh tồn tại $c \in [0;2]$ sao cho
$$f''( c) \ge 3 \int_0^2 f(x)dx $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-02-2013 - 20:06
#52
Đã gửi 06-02-2013 - 19:25
Bài 33: (mới chế )
Sao có cảm giác thân quen @@
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$ , $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ , $f \in C^2([a;b])$ sao cho $f(a)=f(b)$. Đặt $M=\max_{[a;b]} f''(x)\;, m=\min_{[a;b]} f''(x)$
Giả sử tồn tại $0<h<b-a$ sao cho $f(a+h)=f(b-h)$, chứng minh:
$$\left| f'(a)+f'(b) \right| \le \dfrac{M-m}{2}h$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-03-2013 - 00:58
#53
Đã gửi 06-02-2013 - 20:29
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}\;\;, f:[a;b] \to \mathbb{R}$ khả vi $n \in \mathbb{N^*}$ lần trên $[a;b]$ sao cho $\lim_{x \to a^+} f^{(k)}(x)=0\;, \forall k \in \{1;...;n-1\}$ và $\lim_{x \to a^+} f^{(n)}(x) \neq 0$. Theo định lý trung bình tích phân, với $x \in (a;b] , \exists c_x \in (a;x) \;, \int_a^x f(t)dt=f(c_x)(x-a)$. Chứng minh
$$\lim_{x \to a^+} \dfrac{c_x-a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-02-2013 - 20:30
#54
Đã gửi 09-02-2013 - 23:15
Bài 31: (mới chế )
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0\;, f''(x) \ge 0 \;\forall x \in [a;b]$
Chứng minh tồn tại $c \in [a;b] $ sao cho $\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \int_a^b f(x)dx \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$
Mình nghĩ bất đẳng thức vế trái phải là một số $d$ khác chứ không phải là $c$
Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn
#55
Đã gửi 17-02-2013 - 11:00
Bài 35:Cho hàm $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên miền xác định với $0\leq a<b$ và cho hàm $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,tuần hoàn với chu kì $T$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(x)g(nx)dx =\dfrac{1}{T}\int_0^T g(x) \int_a^b f(x)dx$$
Một bài khác:
Bài 36:Cho hàm $f:[1+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,thoả mãn tồn tại giới hạn hữu hạn $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xf(x)$
Chứng minh tồn tại giới hạn $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $ và $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} n\int_{1}^{a}f\left(x^{n}\right)dx=\lim_{t\to +\infty}\int_1^t \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $$ với $a>1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ablrise: 17-02-2013 - 11:34
#56
Đã gửi 18-02-2013 - 19:49
Mình nghĩ bất đẳng thức vế trái phải là một số $d$ khác chứ không phải là $c$
Bài toán nêu trên đúng chứ không sai đâu ạ, cả hai vế đều là $c$.
#57
Đã gửi 19-02-2013 - 22:38
Phát biểu vấn đề giống bài 34
Cho $f$ xác định và khả vi vô hạn lần trên $(-1;1)$ sao cho $\forall k \in \mathbb{N}^*, \; f^{(k)}(0) \neq 0$. Theo ông Taylor, với $0<|x|<1$ và $n \in \mathbb{N}^*$
$f(x)=f(0)+xf'(0)+...+\dfrac{x^{n-1}f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}+\dfrac{x^nf^{(n)}(\theta_x x)}{n!} \;, 0<\theta_x<1 $
Tính $\lim_{x \to 0} \theta_x $
#58
Đã gửi 23-02-2013 - 22:35
Tặng mọi người bài mới sáng tác lúc sáng:
Bài 27:
Cho $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục và giảm trên $[0;1]$. Chứng minh
$$f(x) \le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$
Chặn trên bởi một đa thức ^^. Khó hơn tí, tìm trường hợp đẳng thức
Mục đích chính là mình muốn đưa ra đẳng thức rất đẹp sau
$$(b-a)f(x)=\int_a^b f(x)dx+\int_a^x (t-a)f'(t)dt+\int_x^b (t-b)f'(t)dt$$
Do đó ta có $$f(x)=\int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt+\int_x^1 (t-1)f'(t)dt$$
$$ \le \int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt +\sqrt{\int_x^1 (t-1)^2dt \int_x^1 f'^2( t)dt} $$
$$\le \int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt+\dfrac{1}{2}\int_x^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$
$$\le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6} $$
Do $f'(t) \le 0 \;, \forall t \in [0;1]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-03-2013 - 19:16
- dark templar và happyfree thích
#59
Đã gửi 24-02-2013 - 00:22
Bài 38. Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0, 1]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1f(x)dx=0.$ Chứng minh tồn tại $a \in (0, 1)$ sao cho$$a^2f(a)=\int\limits_0^a(x+x^2)f(x)dx$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anktqd: 24-02-2013 - 00:31
#60
Đã gửi 24-02-2013 - 23:55
Bài 40:(DHSP HCM 2011)::Cho hàm $f$ khả vi liên tục trên $[a;b]$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\leq \dfrac{1}{2}\left[|f\left(a\right)+f\left(b\right)|+\int_a^b |f'\left(x\right)|dx\right]$$
Bài 41:Cho $f$ là hàm khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $\int_0^1 f(x)dx=0$.Chứng minh rằng $$\left|\displaystyle\int_0^1 xf(x)dx\right|\leq\dfrac{1}{12}\displaystyle\max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 25-02-2013 - 00:03
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Ta có thể chọn ra bốn nghiệm sao cho tổng của bốn nghiệm này bằng $\frac{S}{2}$Bắt đầu bởi helloa, 07-02-2024 đa thức, nghiệm đa thức |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Cho $P_{2023}$ là tập các đa thức có bậc $\leq$2023.$W=\left \{ p(x)\in P_{2023}|p(x-1)=-1) \right \}$.Kđ nào sau đây đúng?Bắt đầu bởi Explorer, 25-11-2023 không gian vector, cơ sở và . |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh