Tìm hằng số $k$ để BĐT đúng:$\sum a \ge k\sum \sqrt{a^2+bc}$
#1
Đã gửi 20-01-2012 - 20:05
$$a+b+c \ge k(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab})$$
#2
Đã gửi 20-01-2012 - 20:19
Theo tớ $k_max =\frac{2}{3}$Bài toán: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để cho BĐT sau đúng $\forall a,b,c \ge 0$:
$$a+b+c \ge k(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab})$$
Khi cho $a=0,b=c$
- dark templar yêu thích
#3
Đã gửi 20-01-2012 - 20:37
Mình cũng nghĩ thế Đến giờ mình còn chưa chứng minh được trong trường hợp $k=\frac{2}{3}$.Bây giờ cậu nghĩ thế nào nếu mình thay đổi đề là :Theo tớ $k_max =\frac{2}{3}$
Khi cho $a=0,b=c$
$$k(a+b+c) \ge \sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab}$$
#4
Đã gửi 20-01-2012 - 21:22
Theo tó hằng số $k$ bé nhất để bất đẳng thức mà Phúc vừa nêu đúng là $k=\frac{3}{2}$
#5
Đã gửi 20-01-2012 - 21:31
Bài này cũng là 1 vấn đề mở mà mình bắt gặp trong cuốn Sáng tạo BĐT của anh Hùng nên mình mới đưa nó lên để thảo luận xem ?
#6
Đã gửi 20-01-2012 - 21:42
Khi đó bất đẳng thức có dạng là
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào trong chúng đồng thời bằng $0$.Chứng mình rằng
$$\frac{3}{2}(a + b + c) \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} $$
Cach1
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$ Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có
$$2\sqrt {{a^2} + bc} \le a + c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}};2\sqrt {{b^2} + ca} \le b + c + \frac{{{b^2} + ca}}{{b + c}};2\sqrt {{c^2} + ab} \le b + c + \frac{{{c^2} + ab}}{{b + c}}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$3(a + b + c) \ge a + 2b + 3c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} + a(b + c)}}{{b + c}}$$
Hay là
$$a + b \ge \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}}$$
Nhưng nó hiển nhiên đúng do
$$\frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} \le \frac{{{a^2} + ac}}{{a + c}} = a;\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} \le \frac{{{b^2} + bc}}{{b + c}} = b$$
Vậy BĐT được chứng minh
Cách 2
Ta vẫn giả sử $a\ge b\ge c$
Dễ thấy
$$\sqrt {{a^2} + bc} \le \sqrt {{a^2} + ac} \le a + \frac{c}{2};\sqrt {{b^2} + ac} + \sqrt {{c^2} + ab} \le \sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} \le \frac{{a + 3b + 2c}}{2} \Leftrightarrow {(a - b - 2c)^2} + 8c(b - c) \ge 0$$
Có đpcm
Trước đây tôi từng thấy trên Mathlink.ro bài toán sau đây còn mạnh hơn bài toán trên
Với $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$.Chứng minh rằng
$$\frac{3}{2} \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} + abc$$
- dark templar, Zaraki và Tham Lang thích
#7
Đã gửi 20-01-2012 - 21:44
#8
Đã gửi 20-01-2012 - 21:58
Mình thấy rất ấn tượng với cách làm thứ nhất Quá hay Nhưng làm sao nghĩ ra như thế được nhỉ ? Chắc dựa vào $a \ge b \ge c$ mà thôiMình chứng minh bất đẳng thức trên trong trường hợp $k=\frac{3}{2}$ nhé có vài cách chứng minh mà mình tìm được cũng như sưu tầm được.Mình chỉnh sửa đề một chút cho hợp lý và đúng hơn
Khi đó bất đẳng thức có dạng là
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào trong chúng đồng thời bằng $0$.Chứng mình rằng
$$\frac{3}{2}(a + b + c) \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} $$
Cach1
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$ Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có
$$2\sqrt {{a^2} + bc} \le a + c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}};2\sqrt {{b^2} + ca} \le b + c + \frac{{{b^2} + ca}}{{b + c}};2\sqrt {{c^2} + ab} \le b + c + \frac{{{c^2} + ab}}{{b + c}}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$3(a + b + c) \ge a + 2b + 3c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} + a(b + c)}}{{b + c}}$$
Hay là
$$a + b \ge \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}}$$
Nhưng nó hiển nhiên đúng do
$$\frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} \le \frac{{{a^2} + ac}}{{a + c}} = a;\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} \le \frac{{{b^2} + bc}}{{b + c}} = b$$
Vậy BĐT được chứng minh
Cảm ơn Hoàng vì đã post lời giải,mà cho hỏi là cách làm nào là của bạn ?
#9
Đã gửi 25-01-2012 - 23:58
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Thảo luận ^_^
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm hằng số $k$ để BĐT đúng:$\sum a^3 \ge 3abc+k|(a-b)(b-c)(c-a)|$Bắt đầu bởi dark templar, 19-02-2012 Thảo luận ^_^ |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Tài liệu - đề thi THPT →
Thi TS ĐH →
Đề thi thử ĐH các năm cũ.Bắt đầu bởi dark templar, 19-02-2012 Thảo luận ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Đề KT Chuyên trường Nguyễn Thượng Hiền.Bắt đầu bởi dark templar, 19-02-2012 Thảo luận ^_^ |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh