Chủ đề này có 8 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để cho BĐT sau đúng $\forall a,b,c \ge 0$:
$$a+b+c \ge k(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab})$$

[alex_hoang]

Bài toán: Tìm hằng số $k$ tốt nhất để cho BĐT sau đúng $\forall a,b,c \ge 0$:
$$a+b+c \ge k(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab})$$

Theo tớ $k_max =\frac{2}{3}$
Khi cho $a=0,b=c$

[dark templar]

Theo tớ $k_max =\frac{2}{3}$
Khi cho $a=0,b=c$

Mình cũng nghĩ thế Đến giờ mình còn chưa chứng minh được trong trường hợp $k=\frac{2}{3}$.Bây giờ cậu nghĩ thế nào nếu mình thay đổi đề là :
$$k(a+b+c) \ge \sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab}$$

[alex_hoang]

Thứ nhất mình góp ý tí Phúc à.Hằng số tốt nhất là thế nào nó là hằng số lớn nhất hay nhỏ nhất.Bài này thì có lẽ không xảy ra trường hợp đó chứ nếu bài mà $k$ thuộc đoạn thì sao nhỉ .
Theo tó hằng số $k$ bé nhất để bất đẳng thức mà Phúc vừa nêu đúng là $k=\frac{3}{2}$

[dark templar]

Ý của mình là hằng số mà không thể thay nó bằng 1 giá trị khác lớn hơn hay bé hơn thì là hằng số tốt nhất
Bài này cũng là 1 vấn đề mở mà mình bắt gặp trong cuốn Sáng tạo BĐT của anh Hùng nên mình mới đưa nó lên để thảo luận xem ?

[alex_hoang]

Mình chứng minh bất đẳng thức trên trong trường hợp $k=\frac{3}{2}$ nhé có vài cách chứng minh mà mình tìm được cũng như sưu tầm được.Mình chỉnh sửa đề một chút cho hợp lý và đúng hơn
Khi đó bất đẳng thức có dạng là
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào trong chúng đồng thời bằng $0$.Chứng mình rằng
$$\frac{3}{2}(a + b + c) \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} $$
Cach1
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$ Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có
$$2\sqrt {{a^2} + bc} \le a + c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}};2\sqrt {{b^2} + ca} \le b + c + \frac{{{b^2} + ca}}{{b + c}};2\sqrt {{c^2} + ab} \le b + c + \frac{{{c^2} + ab}}{{b + c}}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$3(a + b + c) \ge a + 2b + 3c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} + a(b + c)}}{{b + c}}$$
Hay là
$$a + b \ge \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}}$$
Nhưng nó hiển nhiên đúng do
$$\frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} \le \frac{{{a^2} + ac}}{{a + c}} = a;\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} \le \frac{{{b^2} + bc}}{{b + c}} = b$$
Vậy BĐT được chứng minh
Cách 2
Ta vẫn giả sử $a\ge b\ge c$
Dễ thấy
$$\sqrt {{a^2} + bc} \le \sqrt {{a^2} + ac} \le a + \frac{c}{2};\sqrt {{b^2} + ac} + \sqrt {{c^2} + ab} \le \sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} \le \frac{{a + 3b + 2c}}{2} \Leftrightarrow {(a - b - 2c)^2} + 8c(b - c) \ge 0$$
Có đpcm
Trước đây tôi từng thấy trên Mathlink.ro bài toán sau đây còn mạnh hơn bài toán trên
Với $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$.Chứng minh rằng
$$\frac{3}{2} \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} + abc$$

[alex_hoang]

Các bạn thử chứng minh bài toán mở rộng trên nhé thực sự thì nó không dễ

[dark templar]

Mình chứng minh bất đẳng thức trên trong trường hợp $k=\frac{3}{2}$ nhé có vài cách chứng minh mà mình tìm được cũng như sưu tầm được.Mình chỉnh sửa đề một chút cho hợp lý và đúng hơn
Khi đó bất đẳng thức có dạng là
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào trong chúng đồng thời bằng $0$.Chứng mình rằng
$$\frac{3}{2}(a + b + c) \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} $$
Cach1
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$ Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có
$$2\sqrt {{a^2} + bc} \le a + c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}};2\sqrt {{b^2} + ca} \le b + c + \frac{{{b^2} + ca}}{{b + c}};2\sqrt {{c^2} + ab} \le b + c + \frac{{{c^2} + ab}}{{b + c}}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$3(a + b + c) \ge a + 2b + 3c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} + a(b + c)}}{{b + c}}$$
Hay là
$$a + b \ge \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}}$$
Nhưng nó hiển nhiên đúng do
$$\frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} \le \frac{{{a^2} + ac}}{{a + c}} = a;\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} \le \frac{{{b^2} + bc}}{{b + c}} = b$$
Vậy BĐT được chứng minh

Mình thấy rất ấn tượng với cách làm thứ nhất Quá hay Nhưng làm sao nghĩ ra như thế được nhỉ ? Chắc dựa vào $a \ge b \ge c$ mà thôi
Cảm ơn Hoàng vì đã post lời giải,mà cho hỏi là cách làm nào là của bạn ?

[alex_hoang]

Mải VMF next top model quá giờ mới thấy cái comment này của Phúc.Cũng muốn được khen các giải hay nhưng khổ nỗi tài năng chưa đủ