1 reply to this topic

[Tham Lang]

Vui với một bài
Chứng minh rằng bốn đường trong có các đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó.

Học sinh giỏi Bắc Ninh 2009

[minhtuyb]

-Gọi M là một điểm bất kì của tứ giác lồi ABCD. Nối M với các đỉnh. Xét 2 trường hợp:
TH1:Nếu M nằm trên cạnh tứ giác thì dĩ nhiên ta thấy M nằm trong đường tròn với đường kính là cạnh đó
TH2:
-Nếu M nằm trong tứ giác lồi ABCD . Khi đó ta có
$\widehat{AMB}+\widehat{BMC}+\widehat{CMD}+\widehat{DMA}=360^o$
-Theo nguyên lí cực hạn tồn tại góc lớn nhất trong 4 góc trên , giả sử đó là $\widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{AMB}\geq 90^o$
$\Rightarrow$ M nằm trong(hoặc trên) đường tròn đường kính AB. Vậy dĩ nhiên M bị phủ bởi đường tròn này.
Như thế do M là một điểm tùy ý trong tứ giác lồi ABCD , ta suy ra bốn hình tròn trên phủ kín tứ giác lồi đã cho. Vậy ta có dpcm
Từ đây: http://diendan.hocma...t=186471&page=6

Edited by minhtuyb, 10-03-2012 - 22:45.