1 reply to this topic

[Ispectorgadget]

Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa $z^2(x^2+y^2-1)+2xyz+1=0$. Chứng minh rằng $$\frac{xyz+x+y+z}{xz+zy+xz}\leq \frac{14}{13}$$
Bài 2: Cho các số thực dương $x,y,z$ thay đổi. Tìm GTLN của biểu thức $$P=\frac{x}{\sqrt{3x^2+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3y^2+xz}}+\frac{z}{\sqrt{3z^2+xy}}$$
Bài 3: Cho các số $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$(a+c)(b+1)\geq abc(a^2+b^2+c^2+1)$$

[tranghieu95]

Bài 2: Cho các số thực dương $x,y,z$ thay đổi. Tìm GTLN của biểu thức $$P=\frac{x}{\sqrt{3x^2+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3y^2+xz}}+\frac{z}{\sqrt{3z^2+xy}}$$

Chuẩn hóa xyz=1
$P=\sqrt{\dfrac{x^3}{3x^3+1}}+\sqrt{\dfrac{y^3}{3y^3+1}}+\sqrt{\dfrac{z^3}{3z^3+1}}$
Ta có: $P^2\leq \dfrac{x^3}{3x^3+1}+\dfrac{y^3}{3y^3+1}+\dfrac{z^3}{3z^3+1}$
Đặt $x^3=a; y^3=b; z^3=c \Rightarrow abc=1$
Ta có: $Q=\dfrac{x^3}{3x^3+1}+\dfrac{y^3}{3y^3+1}+\dfrac{z^3}{3z^3+1}=\dfrac{a}{3a+1}+\dfrac{b}{3b+1}+\dfrac{c}{3c+1}=1-\dfrac{1}{3a+1}-\dfrac{1}{3b+1}-\dfrac{1}{3c+1}=1-\dfrac{bc}{3+bc}-\dfrac{ca}{3+ca}-\dfrac{ab}{3+ab}$
Mà $\dfrac{bc}{3+bc}+\dfrac{ca}{3+ca}+\dfrac{ab}{3+ab}=\dfrac{b^2c^2}{3bc+b^2c^2}+\dfrac{ca}{c^2a^2+3ca}+\dfrac{a^2b^2+3ab}\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+(ab+bc+ca)}=\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca+1}=1-\dfrac{1}{ab+bc+ca+1}\geq \dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow P\leq \dfrac{3}{2}$
Vậy $min P=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=z$

Edited by tranghieu95, 24-06-2012 - 21:22.