Chủ đề này có 5 trả lời

[ToanHocLaNiemVui]

Giải các PT sau với nghiệm nguyên:
1, $x!+y!=z!$
2, $x^{2}+y^{2}=6(a^{2}+b^{2})$
3, $1+x+x^{2}+x^{3}=y^{2}$
4, $x^{4}+x^{2}+4=y^{2}-y$
5, $x^{2}=y^{3}+16$
6, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$
7, $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=y^{2}$
8, $z^{2}(z^{2}-x^{2}-y^{2})=x^{2}y^{2}$
9, $z^{2}(z^{2}-x^{2}-y^{2})=x^{2}y^{2}$
10, $x^{2}+y^{2}=7z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 01-05-2012 - 16:42

[ToanHocLaNiemVui]

Không ai làm à, vậy mình xin phép làm mấy bài:
3, PT đã cho tương đương với:
$(x+1)(x^{2}+1)=y^{2}=y.y=y^{0}.y^{2}$
Đến đây chắc là ra rồi.
4, Ta có: $x^{4}+x^{2}+4=y^{2}-y\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{2}+y+)+(x^{2}+y)=-4$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y)(x^{2}-y+1)=-4$
Đây là PT ước số, chắc là ra.Trâu bò chút
7, Viết lại PT như sau:
$(x^{2}+x)^{2}+(x+1)^{2}=y^{2}$ (1)
Từ (1), suy ra: $y^{2}\geq (x^{2}+x)^{2}$ (*)
Lại có: $(x^{2}+x+1)^{2}-y^{2}=x^{4}+1+2x^{3}+3x^{2}+2x-x^{4}-2x^{3}-2x^{2}-2x-1=x^{2}\geq 0$
Suy ra: $(x^{2}+x+1)^{2}\geq y^{2}$ (**)
Từ (*) và (**), ta có: $(x^{2}+x)^{2}\leq y^{2}\leq (x^{2}+x+1)^{2}$
Vì: $(x^{2}+x)^{2};(x^{2}+x+1)^{2}$ là 2 số chính phương liên tiếp nên...
P/s: Sao mấy bài PT nghiệm nguyên khó thế. Cả buổi sang mới làm được 3 bài... Nản..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 02-05-2012 - 12:17

[perfectstrong]

Bài 2,6,10 đều sử dụng pp lùi vô hạn (hoặc cực hạn đều được)
Kết quả là nghiệm tầm thường.

[ToanHocLaNiemVui]

Bài 2,6,10 đều sử dụng pp lùi vô hạn (hoặc cực hạn đều được)
Kết quả là nghiệm tầm thường.

Bài 6, 10 thì oke zùi . Nhưng còn bài 2 làm sao mà lùi được hả anh..

[daovuquang]

$2. x^2+y^2=6(a^2+b^2) (1)$
$\Rightarrow 3|x^2+y^2$
$\Rightarrow 3|x^2$ và $3|y^2.$ (cái này chắc dễ chứng minh nhỉ )
$\Rightarrow 3|x$ và $3|y.$
Đặt $x=3x_1; y=3y_1.$
$(1)\Leftrightarrow 3(x_1^2+y_1^2)=2(a^2+b^2)$
Vì $(2;3)=1\Rightarrow 3|a^2+b^2.$ Tương tự như trên, cũng rút được $a=3a_1;b=3b_1.$
Giờ pt trở thành $x_1^2+y_1^2=6(a_1^2+b_1^2)$
Mời bạn làm tiếp.

[daovuquang]

Không ai làm à, vậy mình xin phép làm mấy bài:
3, PT đã cho tương đương với:
$(x+1)(x^{2}+1)=y^{2}=y.y=y^{0}.y^{2}$
Đến đây chắc là ra rồi.

Bài này nếu $y^2$ còn ước khác thì sao?