$$\sum\limits_{k=1}^{p-1}{({{x}_{k}}C_{p}^{k})\equiv0(\bmod \,\,{{p}^{3}})}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 25-07-2012 - 07:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 25-07-2012 - 07:43
$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$
Lời giải sai ngay từ đây. Có vẻ như bài này chỉ chứng minh chia hết cho $p^2$ thôi, thử với $p=3$ có vẻ không đúng.Lời giải:
Dễ thấy $C_p^k \vdots p, \forall i=\overline{1,p-1}$ với $p$ nguyên tố.
Do đó, ta chỉ cần chứng minh
$$\sum\limits_{k=1}^{p-1}{x_k} \equiv 0 \pmod {p^2}$$
Anh gì đó ơi, bài này có thể quy về chứng minh:Có vẻ như bài này chỉ chứng minh chia hết cho $p^2$ thôi, thử với $p=3$ có vẻ không đúng.
Rõ ràng là :
$$ \sum\limits_{k=1}^{p-1}(C_p^{k})^2 \vdots p^2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 25-07-2012 - 10:11
$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$
anh thử với $p=3$ thấy nó không đúng! Mà thực ra theo cách đặt của em thì $ka_k=C_{p-1}^{k-1}$ cái này đâu chắc là đồng dư $(-1)^{k-1}$ mod p đâu.Anh gì đó ơi, bài này có thể quy về chứng minh:
\[\sum\limits_{k=1}^{p-1}{{{\left( C_{p}^{k} \right)}^{2}}\equiv 1(\bmod \,\,{{p}^{3}})}\]
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{p-1}{{{\left( \frac{(p-1)!}{k!(p-k)!} \right)}^{2}}\equiv 0(\bmod \,\,\,p)}$$
Với mỗi $k\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2},...,\text{ p-1}\}$ đặt ${{a}_{k}}=\frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}$
$$\Leftrightarrow $$k!.{{a}_{k}}=(p-1)(p-2)...(p-k+1)$$
$$\Leftrightarrow k.{{a}_{k}}\equiv {{(-1)}^{k-1}}(\bmod \,\,\,p)$$
Đến đây, dùng định lí Willson thôi anh ạ
Ở đầu bài toán có đk là p>3Lời giải sai ngay từ đây. Có vẻ như bài này chỉ chứng minh chia hết cho $p^2$ thôi, thử với $p=3$ có vẻ không đúng.
Ta có: $$ \sum\limits_{A \in E_k } {\min A} = \sum\limits_{i=1}^{p-k+1}iC_{p - i}^{k - 1}=\sum\limits_{i=1}^{p}iC_{p - i}^{k - 1}$$
$$\sum\limits_{A \in E_k } {\max A} = \sum\limits_{i = k}^{p} {iC_{i-1}^{k - 1} }=\sum\limits_{i = 1}^p {iC_{i-1}^{k - 1} }$$
Tổng 2 anh này lại thì ra được là
$$ (p+1)\sum\limits_{i=0}^{p-1}C_i^{k-1}=(p+1)C_p^k$$
Rõ ràng là :
$$ \sum\limits_{k=1}^{p-1}(C_p^{k})^2 \vdots p^2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 25-07-2012 - 10:09
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995Em năm nay 12 mà chả biết mấy cái nàyỞ đầu bài toán có đk là p>3
mình sẽ tiếp tục lời giải của bạn để chứng minh chia hết cho $p^3$
ta có $\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}^2=\binom{2p}{p}-2$
mà theo định lí Wolstenholme ta có $\binom{2p}{p} \equiv 2 (mod p^3)$
phát biểu Định lí http://chuyentoanpbc...2/06/trang1.jpg
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 25-07-2012 - 10:33
$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Biết rằng $d(y) = k, \forall y \in Y$, tìm giá trị lớn nhất của $m$ theo $n,k$ để trong đồ thị trên không tồn tại $K_{2,2}$Bắt đầu bởi Chuongn1312, 29-05-2024 tổ hợp, đồ thị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Xếp dãy 1;2;...;2003 thành dãy 2003;2002;...;1 qua một số bướcBắt đầu bởi Nguyen Bao Khanh, 16-05-2024 tổ hợp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Bắt đầu bởi Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh