Chủ đề này có 2 trả lời

[chrome98]

Tìm $n$ sao cho $A=2011^{2011^{2011^{2011^{2011}}}}-n\vdots 19$.

[nthoangcute]

Tìm $n$ sao cho $A=2011^{2011^{2011^{2011^{2011}}}}-n\vdots 19$.

Đặt $a=2011^{2011^{2011^{2011}}}$
Suy ra $A=2011^a-n$
Ta có:
$2011^a \equiv -3^a \; (\mod \;19)$
Ta thấy $3^9\equiv -1 \;(\mod \;19)$
Ta sẽ tìm số dư của $a$ cho 9
Vì $2011^3-1=8132727330$ chia hết cho 9
Ta sẽ tìm số dư của $2011^{2011^{2011}}$ cho 3
$2011^{2011^{2011}} \equiv 1 \;(\mod \;3)$
Hay $2011^{2011^{2011}}=3m+1$
Suy ra $a=2011^{3m+1} \equiv 4 \;(\mod \;9)$
Hay $a=9p+4$
Vậy $A=2011^{9p+4}-n \equiv (-3)^{9p+4}-n \equiv -81-n \equiv -5-n \;(\mod \;19)$
Suy ra $-5-n=19t$
Hay $n=-19t-5$ với $t$ nguyên...

[daovuquang]

Giải:
Định lí Euler: Nếu $n$ là số nguyên dương bất kì và $a$ là số nguyên tố cùng nhau với $n$, thì $a^{\varphi(n)}\equiv 1$ (mod $n$); trong đó $\varphi(n)$ là phi hàm Euler của $n$. Cách chứng minh có thể tham khảo tại đây:http://vi.wikipedia....i/Định_lý_Euler.
Áp dụng định lí trên, ta sẽ tìm số dư của $2011^{2011^{2011^{2011^{2011}}}}$ khi chia cho 19.
Nhận thấy $2011$ là số nguyên tố và $\varphi(19)=18; \varphi(18)=6; \varphi(6)=2.$
Dễ thấy $2011^{2011}\equiv 1$ (mod $2$)
$\Rightarrow 2011^{2011^{2011}}=2011^{2m+1}=(2011^m)^2.2011\equiv 2011\equiv 1$ (mod $6$)
$\Rightarrow 2011^{2011^{2011^{2011}}}=2011^{6p+1}=(2011^p)^6.2011\equiv 2011\equiv 13$ (mod $18$)
$\Rightarrow 2011^{2011^{2011^{2011^{2011}}}}=2011^{18q+13}=(2011^q)^{18}.2011^{13}\equiv 2011^{13}$ (mod $19$)
Mặt khác: $2011^{13}\equiv (-3)^{13}\equiv [(-3)^4]^3.(-3)\equiv 5^3.(-3)\equiv 5$ (mod $19$)
Vậy $n$ sẽ có dạng $19k+14$ để $A\vdots 19.$
P/S: chậm chân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daovuquang: 27-07-2012 - 21:31