\[\sum {\frac{a}{{b + c}} + \frac{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}} \ge \frac{5}{2}\]
#1
Đã gửi 31-07-2012 - 17:30
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{a^2.b+b^2.c+c^2.a}{a.b^2+b.c^2+c.a^2}\ge \frac{5}{2}$
Với a,b,c dương.
- WhjteShadow và MrVirut thích
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#2
Đã gửi 01-08-2012 - 16:08
Ta cần chứng minh:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (1)
và $\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+c^{2}+ca^{2}}\geq1$ (2)
Thấy (1) luôn đúng, là bđt Nesbit.
Ta cần chứng minh (2) hay phải chứng minh
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+c^{2}b+ca^{2}$ với giả sử $a\geq b\geq c$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-a+a-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(ab-bc)+(a-c)(bc-ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)(b-c)\geq 0 (đúng)$
Vậy ta có Đ.P.C.M. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 01-08-2012 - 16:09
I'll always smile.
Try my best.
#3
Đã gửi 01-08-2012 - 16:14
Điều này không đúng bởi vì$ (a-b)(a-c)(b-c)\geq 0 (đúng)$
Với 3 số a,b,c ta chỉ có thể giả sử a là số lớn nhất
$\Rightarrow (a-b)(a-c) \ge 0$
$b-c$ chưa xác định dấu
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#4
Đã gửi 01-08-2012 - 16:25
Mình giả sử $a\geq b\geq c$ rồi bạn.Điều này không đúng bởi vì
Với 3 số a,b,c ta chỉ có thể giả sử a là số lớn nhất
$\Rightarrow (a-b)(a-c) \ge 0$
$b-c$ chưa xác định dấu
I'll always smile.
Try my best.
#5
Đã gửi 01-08-2012 - 16:32
Nên không thể giả sử $a \ge b \ge c$
========
Nếu bạn đúng thì hãy chứng minh cho mình trong trường hợp
$a \ge c \ge b$
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#6
Đã gửi 01-08-2012 - 16:57
http://diendantoanho...800#entry330433
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu đề đúng thì có lẽ chúng ta phải down S.O.C về ngâm cứu thử :-bd
http://www.mediafire...3ix67l4twxjbxyr
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 01-08-2012 - 17:12
#7
Đã gửi 01-08-2012 - 17:01
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C."
Phỏng theo lời giải của minhtuyb
Mình không hiểu nên hỏi
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#8
Đã gửi 03-08-2012 - 12:36
nhìn cái này dễ hơn cái trên kia:"BĐT trên tương đương với:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C."
Phỏng theo lời giải của minhtuyb
Mình không hiểu nên hỏi
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
$($$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)})(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq (a-b)(b-c)(c-a)$
giả sử $c=min\left \{a,b,c \right \}$
thay a,b,c bằng a-c, b-c, 0 thì vế không đổi, còn vế trái giảm(cái này dễ dàng chứng minh được như sau):
$\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{(a-c)(b-c)^{2}}{(a-c)(b-c)}=b-c$ (cái này dễ dàng chứng minh được)
chứng minh hai cái tuơng tự
như vậy ta chỉ cần chứng minh với c=0
ta thay c=0 vào BDT ta được
$\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{4}{\sqrt[3]{2}}> \frac{5}{2}$
điều phải chứng minh
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
- hoangtrunghieu22101997 yêu thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#9
Đã gửi 03-08-2012 - 12:49
Phương pháp chứng minh là jnhìn cái này dễ hơn cái trên kia:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
$($$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)})(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq (a-b)(b-c)(c-a)$
giả sử $c=min\left \{a,b,c \right \}$
thay a,b,c bằng a-c, b-c, 0 thì vế không đổi, còn vế trái giảm(cái này dễ dàng chứng minh được như sau):
$\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{(a-c)(b-c)^{2}}{(a-c)(b-c)}=b-c$ (cái này dễ dàng chứng minh được)
chứng minh hai cái tuơng tự
như vậy ta chỉ cần chứng minh với c=0
ta thay c=0 vào BDT ta được
$\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{4}{\sqrt[3]{2}}> \frac{5}{2}$
điều phải chứng minh
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Tại sao lại thay
a,b,c bằng a-c;b-c;0
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#10
Đã gửi 03-08-2012 - 12:54
đây là phương pháp dồn biến toàn miền, không biết làm có đúng không nữa, pm thấy sao?Phương pháp chứng minh là j
Tại sao lại thay
a,b,c bằng a-c;b-c;0
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh