Chủ đề này có 1 trả lời

[chrome98]

1. Giả sử $\mathcal{M}$ là một tập hợp không rỗng các số nguyên dương có tính chất : hữu hạn các số bất kì $\in \mathcal{M}$ có ước chung $>1$. Chứng minh rằng: tất cả các số $\in \mathcal{M}$ có ước chung $>1$.

2. Cho $20$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<...<a_{20}\leq 70$. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_k-a_l$, $1\leq l<k\leq 20$ có ít nhất $4$ hiệu bằng nhau.

[nguyenta98]

1. Giả sử $\mathcal{M}$ là một tập hợp không rỗng các số nguyên dương có tính chất : hữu hạn các số bất kì $\in \mathcal{M}$ có ước chung $>1$. Chứng minh rằng: tất cả các số $\in \mathcal{M}$ có ước chung $>1$.

2. Cho $20$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<...<a_{20}\leq 70$. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_k-a_l$, $1\leq l<k\leq 20$ có ít nhất $4$ hiệu bằng nhau.

Giải như sau:
Bài 2:
Gọi
$x_1=a_2-a_1$
$x_2=a_3-a_2$
$...$
$x_{19}=a_{20}-a_{19}$
Suy ra $a_{20}-a_1=x_1+x_2+...+x_{18}+x_{19}$
Mà $a_{20}\le 70, a_1\geq 1 \rightarrow x_1+x_2+...+x_{19}\le 69$
Giả sử phản chứng trong các số $x_1,x_2...,x_{19}$ không có bốn số nào bằng nhau
Do đó mỗi giá trị chỉ có tối đa $3$ số nhận
Như vậy $x_1+x_2+...+x_{19}\geq 1+1+1+2+2+2+...+6+6+6+7=70>69$ suy ra vô lý
Do đó phải tồn tại $4$ số trong $x_1,x_2,...,x_{19}$ bằng nhau hay tồn tại bốn hiệu bằng nhau $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-07-2012 - 22:42