$P=\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}$
Tìm GTLN$P=\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}$
#1
Đã gửi 04-08-2012 - 21:02
#2
Đã gửi 04-08-2012 - 22:03
Chém bài này:Cho $a,b,c>0$ , $abc=1$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P=\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}$
$\sum \frac{a}{a^2+2}\leq\sum \frac{a}{2a+1}=\sum \frac{1}{2+\frac{1}{a}}$
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow xyz=1$
Bài toán trở thành.
Tìm GTLN của $\sum \frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)(y+2)+(z+2)(y+2)+(x+2)(z+2)}{(x+2)(y+2)(z+2)}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{(xy+2x+2y+4)(z+2)}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+8}\leq \frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{9+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+xy+yz+zx+4(x+y+z)}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{12+xy+yz+zx+4(x+y+z)}=1$
- viet 1846, Poseidont, BlackSelena và 6 người khác yêu thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#3
Đã gửi 05-08-2012 - 07:58
\[\frac{{1 + {a^k}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} + \frac{{1 + {b^k}}}{{1 + {b^k} + {b^{2k}}}} + \frac{{1 + {c^k}}}{{1 + {c^k} + {c^{2k}}}} \le 2\]
thật vậy:
\[ineq \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^{2k}}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} \ge 1} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{a^k}}} + \frac{1}{{{a^{2k}}}}}}} \ge 1\]
BĐT cuối là BĐT vacs rồi.
BĐT này có giúp ji` cho bài này ko? Các bạn thử xem nào.
#4
Đã gửi 24-04-2021 - 10:30
Cho $a,b,c>0$ , $abc=1$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P=\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}$
Áp dụng Cô-si, ta có $P\leqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$
Ta có: $1- (\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1})=\frac{a+b+c+1-4abc}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}\geqslant 0\Rightarrow 1\geqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$ (Do $a+b+c+1-4abc=a+b+c-3\geqslant 3\sqrt[3]{abc}-3=0$)
Vậy $P\leqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Chú ý: Bài này được chế lại trong đề thi hsg toán 9 tỉnh Quảng Nam 2020-2021 như sau:
Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTLN của $A=\frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: kim văn hùng
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vịBắt đầu bởi 19kvh97, 19-11-2015 kim văn hùng, ma trận |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$x^3+7=\sqrt{x^2+5}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 03-09-2015 pt, kim văn hùng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$b\int_{0}^{a}f(x)dx\geq a\int_{0}^{b}f(x)dx$Bắt đầu bởi 19kvh97, 27-08-2015 tp, kim văn hùng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$f(x_0)=x_0$Bắt đầu bởi 19kvh97, 27-08-2015 hs, kim văn hùng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\left | \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \frac{(b-a)^2}{4}.M$Bắt đầu bởi 19kvh97, 26-08-2015 tp, kim văn hùng |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh