Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenta98]

Cho tam giác $ABC$
Các đường trung tuyến và phân giác vẽ từ $A$ theo thứ tự cắt $BC$ tại $M$ và $FN$
Các đường trung tuyến và phân giác vẽ từ $A$ theo thứ tự cắt $BC$ tai $M$ và $N$
Từ $N$ vẽ đường thẳng vuông góc với $NA$, đường này cắt $MA$ và $BA$ tương ứng tại $Q,P$.
Tư $P$ vẽ đường vuông góc vói $BA$ cắt $NA$ tại $O$
Chứng minh rằng $QO \perp BC$

[perfectstrong]

Bài này có đây rồi mà em
Theo cách giải anh Galois:

Gọi $L$ là giao điểm của $PQ$ và $AC$. Dễ thấy $N$ là trung điểm $AL$.Từ $P$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AM, AN, AC$ lần lượt tại $I, J, R$.
Do $BM = MC$ và $BC // PR$ nên bằng cách sử dụng định lí Thales, ta chứng minh được $PI=IR$.
Suy ra $IN // AC$ (Do tính chất đường trung bình trong tam giác)
Do $NI // AL$, nên ta có
$$\dfrac{NI}{AL} = \dfrac{IQ}{QA}(1)$$
Mặt khác nhờ tính chất phân giác của $AJ$ nên
$$\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{AP}{AR}=\dfrac{PJ}{JR}$$
hay
$$\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{PJ}{JR} (2)$$
Nhân theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta có:
$$\dfrac{NI.AL}{AL.AR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}\Leftrightarrow \dfrac{NI}{AR} = \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$$
mà $\dfrac{NI}{AR}= \dfrac{JI}{JR}$ (do $NI // AR$) nên
$$\dfrac{JI}{JR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR} \Leftrightarrow \dfrac{JI}{JP} =\dfrac{ IQ}{QA}$$
Từ đó suy ra $QJ // AP$ mà $PK \perp AP$ nên$ PK \perp QJ$
Vậy $J$ là trực tâm tam giác $JOP$ hay $PR \perp QK$

Còn đây là vài cách giải khác:
Lời giải bằng phương pháp tọa độ (xem bài 4 trong file này )
 Lời giải đề nghị Gama-Alpha.pdf   191.84K   220 Số lần tải
Lời giải bằng hình học thuần túy:

Lời giải 3,4: (vắn tắt)
Gọi $(\omega)$ là đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC$.
Vẽ AN cắt $(\omega)$ tại D. Hạ DE AB,DF AC. Mà DM BC nên theo tính chất đường thẳng Simpson thì E,M,F thẳng hàng.
Vẽ PN cắt AC tại R. Dễ thấy OR AC. Vẽ EF cắt AD tại G.
Lời giải 3:
Ta có:
$$(PQNR)=(EMGF) \Rightarrow O(PQNR)=E(EMGF)$$
Lại có: $OP//DE; ON//DG;OR//DF \Rightarrow OQ//DM$
Mà $DM \perp BC \Rightarrow OQ \perp BC$
Lời giải 4:
Chú ý: EF//PR; OR//DF nên $\dfrac{AQ}{AM}=\dfrac{AR}{AF}=\dfrac{AO}{AD} \Rightarrow OQ//DM$. Mà MD BC nên ta có đpcm.