Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenta98]

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trung tuyến AA′;BB′;CC′ cắt đường tròn tại A1;B1;C1.CM: $\dfrac{AA'}{AA_1}+\dfrac{BB'}{BB_1}+\dfrac{CC'}{CC_1}\le \dfrac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-10-2012 - 00:12

[BlackSelena]

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trung tuyến AA′;BB′;CC′ cắt đường tròn tại A1;B1;C1.CM: $\dfrac{AA'}{AA_1}+\dfrac{BB'}{BB_1}+\dfrac{CC'}{CC_1}\le \dfrac{9}{4}$

Để thuận tiện ^^, ta đặt $AA' = m_a, AA_1 = M_a$.
Dễ dàng chứng minh $$AA'.A'A_1 = BA'.A'C = \frac{a^2}{4}$$
$$\Leftrightarrow m_a.(M_a - m_a) = \frac{a^2}{4}$$
$$\Leftrightarrow m_a.M_a - m_a^2 = \frac{a^2}{4}$$
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến thì $m_a^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$
$$\Rightarrow m_a.M_a = \frac{b^2+c^2}{2}$$
Vậy ta có:
$$\sum \frac{AA'}{AA_1} = \sum \frac{m_a^2}{m_a.M_a} = \sum \frac{\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}{\frac{b^2+c^2}{2}}$$
$$= 3 - \frac{1}{2}\sum(\frac{a^2}{b^2+c^2})$$
Dễ nhận thấy $\sum(\frac{a^2}{b^2+c^2} \geq \frac{3}{2}$ theo bđt Nesbitt.
Vậy $$ 3 - \frac{1}{2}\sum(\frac{a^2}{b^2+c^2} \leq 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ tức $\triangle ABC$ là $\triangle$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 14-10-2012 - 08:59