Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenta98]

Gọi $A',B',C"$ lần lượt là trung điểm các cung $BC,CA,AB$ không chưa $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Các cạnh $BC,CA$ và $AB$ cắt các cặp đoạn thẳng $C'A', A'B' ; A'B', B'C' ; B'C', C'A'$ lần lượt tại $M,N,P,Q,R,S$
CMR: $MN = PQ = RS \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

[BlackSelena]

Gọi $A',B',C"$ lần lượt là trung điểm các cung $BC,CA,AB$ không chưa $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Các cạnh $BC,CA$ và $AB$ cắt các cặp đoạn thẳng $C'A', A'B' ; A'B', B'C' ; B'C', C'A'$ lần lượt tại $M,N,P,Q,R,S$
CMR: $MN = PQ = RS \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

Vì $A',B',C'$ lần lượt nằm chính giữa cung $BC,CA,AB$ nên ta có $AA',BB',CC'$ lần lượt là các tia phân giác $\angle A, \angle B, \angle C$
Vậy ta nghĩ ngay tới đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$. Khi đó ta có $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$
Mà $A'B = A'C$ nên $\angle SAI = \angle SC'I$
$\Rightarrow SC'AI:tgnt$
Mà $AC'I = \angle ABC$ do cùng chắn cung $AB$
$\angle AC'I = \angle ASI$
$\Rightarrow \angle ASI = \angle ABC$
$\Rightarrow RI \parallel AC$
Chứng minh tương tự, ta có $IP \parallel BC, IM \parallel AB, IQ \parallel AB, IN \parallel AC, IR \parallel AC$
Vậy $ARIQ, BSIM,CNIP$ đều là hình bình hành.
Cơ mà $AA',BB',CC'$ lại là phân giác , nên chúng lại là hình thoi.V
Vậy khi đó ta có $\triangle IMN \sim \triangle ABC$
$\Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{IN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
$= \frac{IM + IN + MN}{AB+BC+CA} = \frac{BM+MN+NC}{AB+BC+CA} = \frac{BC}{AB+BC+CA}$
$\Rightarrow MN = \frac{BC^2}{AB+BC+CA}$
Chứng minh tương tự, ta cũng có $PQ = \frac{AC^2}{AB+BC+CA}, RS = \frac{AB^2}{AB+BC+CA}$
Vậy $MN = PQ = RS \Leftrightarrow BC^2=AC^2=AB^2 \Leftrightarrow \triangle ABC:\text{đều}$

[Tru09]

Vì $A',B',C'$ lần lượt nằm chính giữa cung $BC,CA,AB$ nên ta có $AA',BB',CC'$ lần lượt là các tia phân giác $\angle A, \angle B, \angle C$
Vậy ta nghĩ ngay tới đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$. Khi đó ta có $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$
Mà $A'B = A'C$ nên $\angle SAI = \angle SC'I$
$\Rightarrow SC'AI:tgnt$
Mà $AC'I = \angle ABC$ do cùng chắn cung $AB$
$\angle AC'I = \angle ASI$
$\Rightarrow \angle ASI = \angle ABC$
$\Rightarrow RI \parallel AC$
Chứng minh tương tự, ta có $IP \parallel BC, IM \parallel AB, IQ \parallel AB, IN \parallel AC, IR \parallel AC$
Vậy $ARIQ, BSIM,CNIP$ đều là hình bình hành.
Cơ mà $AA',BB',CC'$ lại là phân giác , nên chúng lại là hình thoi.V

Mình xin thu gọn 1 tí cho thuần hình học
Đến đây ta có :$\Delta RSI$ ~ $\Delta IMN$
Vậy $MN =SR \Leftrightarrow RI=RN$
Mà BI là phân giác nên $\Delta BRN :\text{cân} \Leftrightarrow \Delta ABC :\text{cân tại B}$
CMTT $\Rightarrow \Delta ABC :\text{Cân tại A,B,C} \Rightarrow \Delta ABC :\text{Đều}$

[BlackSelena]

Mình xin thu gọn 1 tí cho thuần hình học
Đến đây ta có :$\Delta RSI$ ~ $\Delta IMN$
Vậy $MN =SR \Leftrightarrow RI=RN$
Mà BI là phân giác nên $\Delta BRN :\text{cân} \Leftrightarrow \Delta ABC :\text{cân tại B}$
CMTT $\Rightarrow \Delta ABC :\text{Cân tại A,B,C} \Rightarrow \Delta ABC :\text{Đều}$

Không có ý kiến gì về cách làm của bạn nhưng bạn hiểu "thuần hình học" là gì không mà vội nói.
"Mình xin thu gọn 1 tí cho thuần hình học "?
Cách mình là thuần hình học bạn à.
Chưa kể, cách bạn còn phải xài lại Eculid để chứng minh thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-09-2012 - 20:45