Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Cho a,b,c >0 abc=1.CMR: $\frac{1}{a^{2}-a+1}+\frac{1}{b^{2}-b+1}+\frac{1}{c^{2}-c+1}\leq 3$

[tim1nuathatlac]

Cho a,b,c >0 abc=1.CMR: $\frac{1}{a^{2}-a+1}+\frac{1}{b^{2}-b+1}+\frac{1}{c^{2}-c+1}\leq 3$

sử dụng bđt sau $a,b,c> 0$ thỏa $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1$

cm bđt trên Đặt $a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$ $\Rightarrow Q.e.D$

Ta lại cm bđt sau: $\sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{4}}}\geq 1$

Đăt $\frac{1}{a^{2}}=x;\frac{1}{b^{2}}=y;\frac{1}{c^{2}}=z\Rightarrow Q.e.D$

$\Rightarrow 4\geq \sum \frac{2\left ( a^{2}+1 \right )}{a^{4}+a^{2}+1}=\sum \frac{\left ( a^{2}-a+1 \right )+\left ( a^{2}+a+1 \right )}{\left ( a^{2}-a+1 \right )\left ( a^{2}+a+1 \right )}$

$\Leftrightarrow 4\geq \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\geq 1+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3$ $Q.e.D$

Cách 2 $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-a+1} \right )\geq 1$

đến đây thì rễ rồi. Bạn thử làm tiếp