Chủ đề này có 4 trả lời

[davildark]

Cho a b c > 1 và $\sum \frac{1}{a^2-1}=1$
CM $\sum \frac{1}{a+1}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 03-10-2012 - 22:06

[tim1nuathatlac]

Cho a b c > 1 và $\sum \frac{1}{a^2-1}=1$
CM $\sum \frac{1}{a+1}\leq 1$

Đặt $x=\frac{1}{a-1};y=\frac{1}{b-1};c=\frac{1}{z-1}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-1}=\sum \frac{x^{2}}{2x+1}=1$

Ad $Cauchy-schwarz$ ta có $1=\sum\frac{ x^{2}}{2x+1}\geq \frac{t^{2}}{2t+1}$ vs $t=x+y+z$

$\Rightarrow 2t+3\geq t^{2}\Leftrightarrow \left ( 3-t \right )\left ( t+1 \right )\geq 0\Leftrightarrow 3\geq t$

trở về bđt $\sum \frac{1}{a+1}=\sum \frac{x}{2x+1}\leq \frac{1}{9}\sum\left ( 2+x \right ) =\frac{1}{9}\left ( 2+2+2+x+y+z \right )\leq \frac{1}{9}.9=1$

$\Rightarrow Q.e.D$ Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 03-10-2012 - 22:19

[Joker9999]

Cách 2:
Ta sử dụng pp phản chứng:
Thay vì chứng minh bài toán ta sẽ chứng minh 1 bài toán khác tương tự:
Giả sử:
$\sum \frac{1}{a+1}=1$$\sum \frac{1}{a+1}=1$ (1) ta sẽ chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}+1}\geq 1$ (2)
Thật vâỵ:
từ (1) suy ra:
$\sum \frac{a-2}{a+1}=\ 0$
(2) tương đương với:
$\sum \frac{a^{2}-4}{a^{2}-1}\leq \0$$\sum \frac{a^{2}-4}{a^{2}-1}\leq \0$$\sum \frac{a^{2}-4}{a^{2}-1}\leq \0$

$\sum \frac{a^{2}-4}{a^{2}-1}\leq \0\Leftrightarrow \sum \frac{a-2}{a+1}.\sum \frac{a+2}{a-1}\leq 0$$\sum \frac{a^{2}-4}{a^{2}-1}\leq \0\Leftrightarrow \sum \frac{a-2}{a+1}.\sum \frac{a+2}{a-1}\leq 0$
Mặt khác dễ thấy:
$\frac{a-2}{a+1} and \frac{a+2}{a-1}$ là 2 bộ ngược chiều nên áp dụng BDT chebyshez ta có:
VT$\leq \frac{1}{3}\sum \frac{a-2}{a+1}.\sum \frac{a+2}{a-1}=0$$\leq \frac{1}{3}\sum \frac{a-2}{a+1}.\sum \frac{a+2}{a-1}=0$
vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3

[davildark]

1 cách khác sử dụng chebyshez
Bất đẳng thức viết lại thành
$\sum \frac{1}{a+1}\leq \sum \frac{1}{a^2-1} \\ \Leftrightarrow \sum \frac{2-a}{a^2-1}=\frac{4-a^2}{(a^2-1)(a+2)}\leq 0$
Giả sử $a \le b \le c$ ta có 2 dẫy tăng
$\frac{4-a^2}{a^2-1}\geq \frac{4-b^2}{b^2-1}\geq \frac{4-c^2}{c^2-1} \\ \frac{1}{a+2}\geq \frac{1}{b+2}\geq \frac{1}{c+2}$
$\sum \frac{4-a^2}{(a^2-1)(a+2)}\geq (\sum \frac{4-a^2}{a^2-1})(\sum \frac{1}{a+2})=(\sum \frac{3}{a^2-1}-1)(\sum \frac{1}{a+2})=(3\sum \frac{1}{a^2-1}-3)(\sum \frac{1}{a+2})=0$
Xong !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 05-10-2012 - 20:43

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a b c > 1 và $\sum \frac{1}{a^2-1}=1$
CM $\sum \frac{1}{a+1}\leq 1$

Cách 4 :
Theo $AM-GM$
$\frac{1}{a^2-1}+\frac{a-1}{a+1}\geq \frac{2}{a+1}\Leftrightarrow \frac{1}{a^2-1}\geq \frac{2}{a+1}-\frac{a-1}{a+1}= \frac{2}{a+1}+\frac{2}{a+1}-1$
$= \frac{4}{a+1}-1$
Tương tự có 2 bất đẳnh thức nữa rồi cộng lại , chú ý giả thiết suy ra $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 06-10-2012 - 19:38